Задание 10

В этом задании требуется решить системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим пример решения системы дифференциальных уравнений методом исключения.

Продифференцируем по t первое уравнение системы:

.

Получим систему:

Выразим из второго уравнения у и подставим его в третье уравнение системы, имеем

Подставим из третьего уравнения в первое . Получим линейное однородное уравнение второго порядка

Составим и решим характеристическое уравнение

k²+6k+13=0

D=-16

k₁=-3-2i, k₂=-3+2i.

Значит, х(t)= с₁e^-3t cos2t+4с₂e^-3tsin2t= e^-3t (с₁cos2t+с₂sin2t).

Функцию y(t) найдем из условия . Предварительно найдем производную функции x(t).

=-3e^-3t(с₁cos2t+с₂sin2t)+e^-3t(-2с₁sin2t+2с₂cos2t)=

=e^-3t((-3с₁+2с₂)cos2t + (-3с₂-2с₁) sin2t).

Значит, у(t)=e^-3t((-3с₁+2с₂)cos2t+(-3с₂-2с₁)sin2t)+

+4e^-3t(с₁cos2t+с₂sin2t) = e^-3t((с₁+2с₂)cos2t + (с₂-2с₁)sin2t).

Таким образом,

общее решение системы дифференциальных уравнений.

Найдем решение системы, удовлетворяющее условию

Имеем:

Следовательно,

решение системы дифферен-циальных уравнений, удовлетворяющее заданному условию.

Задание 11

В этом задании необходимо найти область сходимости степенного ряда.

Рассмотрим пример. .

Радиус сходимости степенного ряда вычислим по формуле

В нашем примере . Значит, .

Вычислим интервал сходимости из условия |x-x₀|<R. В нашем случае |x-2|<3; -3<x-2<3; -1<x<5. Следовательно, х(-1;5) – интервал сходимости степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на границах интервала сходимости:

а) при х=-1 получаем ряд или . Это знакочередующийся ряд. Исследуем его сходимость по признаку Лейбница.

Первое условие признака Лейбница а_n>a_n+1 выполняется, так как . Второе условие признака Лейбница тоже выполняется . Значит ряд сходится;

б) при х=5 получаем ряд или . Это ряд с положительными членами. По второму признаку сравнения этот ряд расходится. Значит [-1;5) – область сходимости.

Ответ: х[-1;5).

Примерные варианты контрольных работ

Контрольная работа № 1

1. Вычислить интеграл:

Ответ: .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Ответ: .

3. Вычислить двойной интеграл по области D.

.

Ответ: .

4. Выполнить операцию деления

а) в алгебраической форме;

б) пользуясь показательной формой числителя и знаменателя;

в) извлечь корень кубический из знаменателя.

Ответ: а) ; б) ;

в)

Контрольная работа № 2

1. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответ: а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Решить систему:

Ответ:

3. Записать вид частного решения:

а) ; б) .

Ответ: а)

б) .

Контрольная работа № 3

1. Исследовать ряды на сходимость:

а) ; б) .

Ответ: а) ряд расходится по признаку Даламбера; б) ряд сходится по второму признаку сравнения.

2. Исследовать ряд на сходимость и, если ряд сходится, определить вид сходимости.

.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

3. Найти область сходимости степенного ряда.

.

Ответ: - область абсолютной сходимости, при x=-1 ряд сходится условно, при x=3 ряд расходится.