Исследование резонанса токов

Цель работы – экспериментально проверить основные теоретические положения, характеризующие резонансные явления в линейных электрических цепях при параллельном соединение элементов R, L, C.

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим параллельную электрическую цепь,состоящую из двух параллельных ветвей. В одной ветви последовательно включены резистивный элемент r₁ и индуктивный элемент L, а в другой ветви - резистивный элемент r₂ и ёмкость C (рис. 3.1). Такую цепь называют параллельным колебательным контуром.

Р и с. 3.1

Параллельные ветви решаются через проводимости. В данном случае активные проводимости ветвей :

; ,

реактивные проводимости ветвей:

; . Обратите внимание, как определяются проводимости ветвей в общем случае. Проводимость как величина обратная сопротивлению есть частный случай,когда ветвь содержит только идеальный элемент- резистор, индуктивность или ёмкость. Вобщем случае проводимость определяется как отношение соответствующего сопротивления к квадрату модуля полного сопротивления данной ветви (см. выше приведённые формулы ).

При параллельном соединении проводимости одного характера складываются. В данном случае комплекс полной проводимости цепи запишется в виде :

,

где – модуль полной проводимости цепи;

– угол сдвига фаз между напряжением и током на входе цепи (источника).

Как отмечалось ранее, резонансом называется такой режим работы электрической цепи, при котором входная проводимость (сопротивление) источника носит чисто активный характер. При этом ток и напряжение источника совпадают по фазе (угол φ=0, cosφ =1).

При резонансе эквивалентная реактивная проводимость цепи равна нулю (  ), а входная проводимость цепи равна активной составляющей (   ), следовательно, условием резонанса токов является равенство реактивных составляющих проводимостей ветвей

или

Из приведённых соотношений следует, что добиться резонанса токов можно изменяя частоту ω источника питания, индуктивность L, ёмкость C, а также активные сопротивления r₁ и r₂ .

Так как реактивные составляющие токов в параллельных ветвях можно определить по закону Ома и , то при равны по модулю реактивные составляющие токов и, находясь в противофазе, т.е. взаимно компенсируют друг друга. При этом в ветви с источником напряжения протекают только активные составляющие токов , а реактивные составляющие токов замыкаются внутри контура LC и не протекают в ветви источника. В этом случае происходит обмен энергиями электрического и магнитного полей внутри контура LC. Подробные энергетические процессы рассмотрены в резонансе напряжений.

На рис.3.2. представлена качественная векторная диаграмма, соответствующая цепи изображенной на рис.3.1.

φ₁

φ₂

Р и с. 3.2

Обратите внимание, что на векторной диаграмме ток и напряжение источника совпадают по фазе, т.е. нагрузка цепи носит чисто активный характер.

Ток в ветви источника имеет минимальное значение , так как цепь в этом случае имеет наименьшую проводимость (наибольшее сопротивление), и в теоретическом случае, когда сопротивление ветвей чисто реактивные (при , контур без потерь) значение этого тока равно нулю, т.е. идеальный параллельный контур, состоящий только из L, C, представляет собой фильтр-пробку , что аналогично обрыву ветви источника питания. Обратите внимание на этот специфический режим резонанса токов.

Возможны случаи (при ), когда в резонансном режиме токи в индуктивном и емкостном элементах могут во много раз превышать величину тока источника питания и привести к перегреву элемента цепи.

Поэтому важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением реактивной составляющей тока в индуктивном (емкостном) элементе к входному току источника питания в резонансном режиме:

.

Из условия резонанса найдем резонансную частоту:

,

где – характеристическое (волновое) сопротивление цепи.

Возможны три характерных случая:

– если одно из активных сопротивлений и больше, а другое меньше волнового сопротивления ρ, то резонансная частота ω₀ получается мнимой, т. е. резонанс в такой цепи физически неосуществим;

– если , то резонансная частота ω₀ такая же, как в последовательной цепи при резонансе напряжений:

;

– если , то при любом значении частоты ω реактивная проводимость цепи b равна нулю, т. е. резонанс в цепи имеет место при любой частоте, а сопротивление всей цепи не зависит от частоты и равно ρ.

-в частном случае, когда , то резонанс наступает при любой частоте и называется «безразличным».

Энергетические процессы при резонансе в параллельном контуре протекают значительно сложнее, чем в цепях с последовательным соединением, так как сумма энергий электрического и магнитного полей не остается постоянной.

В рассматриваемом случае при резонансе не совершается обмена энергией между индуктивным и емкостным элементами, а в течение части периода происходит поступление энергии из источника одновременно в электрическое и магнитное поле, а также на выделение тепла в активных сопротивлениях r₁ и r₂.

В другую часть периода энергия, возвращаясь одновременно из емкостного и из индуктивного элементов, преобразуется в тепло в сопротивлениях r₁ и r₂. В то же время энергия продолжает поступать в цепь от источника, при этом она также поглощается в виде тепла в сопротивлениях r₁ и r₂.

Весьма важным является также случай, когда в рассматриваемой цепи можно пренебречь потерями в конденсаторе по сравнению с потерями в ветви с катушкой и считать . Это весьма распространенный случай колебательных контуров в радиотехнических устройствах.

В этом случае условие резонанса токов имеет вид:

или или Из этого выражения определим резонансную частоту:

Входное сопротивление цепи в режиме резонанса при этой частоте равно:

.

Если , то резонансная частота получается мнимой, т. е. резонанс в такой цепи физически неосуществим на любой частоте.

Сопротивление большинства промышленных потребителей электрической энергии имеет активно-индуктивный характер. Чтобы уменьшить потребляемый ими ток за счет снижения его реактивной составляющей и тем самым снизить потери энергии в источнике и проводах линии электропередачи, параллельно нагрузке включают батарею конденсаторов, настроенную на резонанс токов.

Уменьшение реактивного сопротивления индуктивной цепи и повышение коэффициента мощности за счет параллельного включения конденсатора называется поперечной (параллельной) компенсацией сдвига фаз.