7. Графический метод решения игр типа и

Рассмотрим игру типа с платежной матрицей

и проведем через точку (1;0) координатной плоскости Oxy прямую l, перпендикулярно оси абсцисс. После этого для каждой из стратегий B_i (i=1,2,…,n)проведем прямую

соединяющую точку на оси Oy с точкой на прямой l. Ось Oy отвечает за стратегию А₁, а прямая l – за стратегию А₂.

Если игрок А применяет смешанную стратегию

то его выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию В_i, равен

и этому выигрышу соответствует М на прямой b_i с абсциссой x=p₂.

Ломанная b₁MNb₃, отмеченная на чертеже жирной линией, позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Точка N, в которой эта ломанная достигает максимума, определяет решение и цену игры. Ордината точки N равна цене игры V, а ее абсцисса p₂ – частоте применения стратегии A₁ в оптимальной смешанной стратегии игрока А.

Далее непосредственно по чертежу находим пару «полезных» стратегий игрока В, пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выберем любые две из них). Пусть это будут стратегии B_i и B_j. Поскольку выигрыш игрока А, если он придерживается оптимальной стратегии, не зависит от того, в каких пропорциях игрок В применяет эти стратегии, то неизвестные p₁, p₂, V определяются из системы уравнений

Частоты q₁, q₂ в оптимальной стратегии

игрока В определяются из соотношения

Замечание. Иногда точка N не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х=0 или х=1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.

Для игры решение находится совершенно аналогично. Действительно, поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В, то для решения задачи нужно построить ломанную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А, а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.

Пример 7.1. Пусть игра задана матрицей

Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры.

Решение.

Проведем прямые b_i, и построим ломанную линию b₁NMb₃, соответствующую нижней границе выигрыша. Точка N, в которой эта ломанная достигает максимума, является пересечением прямых

и

В ычислив координаты точки N: х₀=4/7, у₀=27/7, получаем оптимальную стратегию игрока А

и цену V=27/7. Так как точка N является пересечением прямых b₁ и b₂, то полезными стратегиями игрока В будут стратегии B₁ и B₂. Найдем частоты их применения q₁ и q₂, зная, что выигрыш равен цене игры, если игрок В применяет оптимальную стратегию, а игрок А – любую из своих полезных стратегий, например стратегию A₁:

=>

Ответ.

Пример 7.2. Пусть игра задана матрицей

Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры.

Решение.

Воспользовавшись тем, что игрок В располагает двумя чистыми стратегиями, построим прямые а_i, соответствующие выигрышам игрока А при чистых стратегиях A_i, и ломанную линию a₁PNMa₄, огибающую график сверху. Эта ломанная достигает минимума в точке N(x₀,y₀), которая является пересечением прямых

и

Следовательно, х₀=0,6; V=7,2. и оптимальной стратегией игрока В является стратегия

Цена игры V=7,2. Полезными стратегиями игрока А являются стратегии А₂ и А₃. Найдем их частоты р₂ и р₃:

Ответ.