2.5. Прогнозирование в регрессионных моделях

Одной из центральных задач эконометрики, имеющей большое практическое значение, является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих (факторных) переменных с использованием построенной регрессионной модели.

В общем случае прогнозирование представляет собой задачу оценки зависимой переменной Y для некоторого набора объясняющих переменных, не входящих в область наблюдаемых статистических данных.

Точечное прогнозирование наиболее наглядно представляется в случае парной линейной регрессии, где возможна графическая экстраполяция (продолжение) линии модели до Х = х_р (рис. 2.3). Если наблюдаемые данные имеют временную структуру (временные ряды), то графическая экстраполяция показывает состояние системы в будущем.

Рис. 2.3.

Основным аспектом проблемы прогнозирования является точность прогноза, которая определяется с помощью интервальных оценок зависимой переменной для линейной регрессии.

Прогнозирование среднего значения. Пусть построена парная регрессионная модель , на основе которой необходимо предсказать условное математическое ожидание M_x(Y) при Х = х_р. В данном случае значение будет являться выборочной оценкой M_x(Y).

С помощью интервальных оценок, построенных с заданной надежностью (1 – б), для конкретного значения х_р мы можем оценить величину отклонения модельного среднего значения (групповой средней) от соответствующего математического ожидания.

Для построения доверительного интервала рассчитаем оценку дисперсии .

(2.32)

Учитывая, что

(2.33)

(2.34)

(2.35)

где является несмещенной оценкой теоретической дисперсии случайных отклонений , получим:

(2.36)

Из положений регрессионного анализа следует, что СВ имеет t-распределение (статистику) Стьюдента с н = n – 2 степенями свободы. Тогда, зная можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания (среднего значения) Y при Х = х_р

(2.37)

соответствующий требуемому уровню значимости б.

Прогнозирование индивидуальных значений зависимой переменной. Построенная доверительная область для М_х(Y) определяет возможное положение линии модели. Для практических применений более важным моментом является знание допустимых границ (ошибок прогноза) интересующего нас конкретного значения y₀. Предсказанное по уравнению регрессионной модели значение составляет при Х = х_р.

При определении доверительного интервала для индивидуальных значений y₀ зависимой переменной, которые отклоняются от средней, необходимо учитывать еще один источник дисперсии – рассеяние вокруг линии регрессионной модели, которое определяется величиной S². Включив в (2.36) величину S² в качестве слагаемого, получим оценку дисперсии индивидуальных значений y₀

(2.38)

Тогда соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений зависимой переменной будет определяться по формуле:

(2.39)

где представляет собой среднеквадратическую (среднюю стандартную) ошибку прогноза. Тогда предсказанное по уравнению модели значение у₀ можно записать как

Построенный интервал определяет границы значений у₀, за пределами которых могут находиться не более 100 · a наблюдений при Х = х_р. Из формул (2.36) и (2.38) следует, что доверительные интервалы будут наиболее узкими при и расширяются при удалении х_р от среднего значения (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

С ростом числа наблюдений n доверительные интервалы сужаются (точность прогноза возрастает).

Пример 2.4. С использованием парной регрессионной модели (пример 2.1.) определить прогнозное значение потребления при доходе х_р = 270 у.д.е. и оценить точность прогноза.

Прогнозное значение потребления определим, подставляя в уравнение регрессии Х = х_р:

= 31,845 + 0,390 · 270 = 137,11 у.д.е.

Для оценки точности прогноза вычислим среднюю стандартную ошибку по формуле:

Здесь – стандартная ошибка регрессионной модели. Расчеты проводим с использованием данных табл. 2.1.

Построим доверительный интервал для y_p, задавая уровень значимости б = 0,05. В соответствии с формулой (2.39) имеем:

137,11 - 2,45 · 3,52 £ y_p £ 137,11 + 2,45 · 3,52.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что уровень потребления при прогнозном значении дохода х_p = 270 у.д.е. будет находиться в интервале от 128,49 до 145,73 у.д.е.