5.2.2. Устранение гетероскедастичности

В случае, когда присутствие гетероскедастичности установлено, возникает необходимость преобразования регрессионной модели с целью устранения данного нежелательного явления. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии случайных отклонений

Предположим, что рассматриваемая модель гетероскедастична, и нам известны значения дисперсий остатков для каждого t-го наблюдения. При отсутствии автокорреляции это означает, что ковариационная матрица случайных отклонений V() =   диагональная. В данном случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое значение зависимой и объясняющих переменных на соответствующее стандартное отклонение Нормируя («взвешивая») переменные по σ_i, мы стремимся получить более точные оценки. В этом заключается суть так называемого взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК).

Для простоты изложения опишем ВМНК на примере парной регрессии [11]:

y_i = b₀ + b₁x_i + _i. (5.7)

Разделим каждый член модели (5.7) на известное σ_i:

(5.8)

Введем обозначения Тогда уравнение модели (5.7) примет вид:

(5.9)

Полученное уравнение представляет собой регрессию без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной U и с преобразованным случайным отклонением *. Для преобразованной модели (5.9) дисперсия остатков т. е. имеет место гомоскедастичность. Действительно, можно записать Так как, согласно первой предпосылке МНК, математическое ожидание М(_i) = 0, то Следовательно,

Таким образом, ковариационная матрица  в выражении (5.1) становится единичной, а сама преобразованная модель (5.9) – классической, к которой применим «обычный» МНК. Другими словами, в данном случае обобщенным методом наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью является взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК). «Взвешивая» каждый остаток с помощью коэффициента 1/σ_i, мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую дисперсию и, в конечном счете, получения эффективных оценок параметров модели.

Рассмотренная выше процедура применения ВМНК предполагает, что фактические значения дисперсий нам известны. Как уже было отмечено, такое предположение реализуется крайне редко. Для применения ВМНК на практике необходимо сделать некоторые достаточно реалистические предположения о значениях . Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии остатков _i пропорциональны значениям (стандартное отклонение остатков пропорционально независимой переменной) или значениям х_i. Тогда необходимым преобразованием будет деление уравнения регрессии (5.7) на х_i или соответственно, что позволит нам получить «преобразованные» случайные отклонения и , для которых выполняется условие гомоскедастичности. Например, определим дисперсию случайного члена для случая пропорциональности стандартного отклонения значениям независимой переменной (σ_i = σ(_i) = х_i, где   коэффициент пропорциональности). В силу выполнимости предпосылки МНК имеем:

Несложно показать, что для отклонений также выполняется условие гомоскедастичности. Таким образом, для оценки преобразованных регрессий возможно применение МНК.

Рассматривая проведенные выше преобразования и их результаты, следует отметить, что применение обобщенного метода наименьших квадратов для моделей с гетероскедастичностью остатков заключается в минимизации суммы взвешенных квадратов отклонений выборочных данных от их оценок.