5.3. Автокорреляция

При анализе временных рядов часто приходится учитывать статистическую зависимость (коррелированность) наблюдений в разные моменты времени. Следовательно, в данном случае для регрессионных моделей Cov(_i, _j)  0, i  j, т. е. третья предпосылка Гаусса-Маркова о некоррелированности остатков не выполняется. Такие регрессионные зависимости называются моделями с автокорреляцией (сериальной корреляцией) остатков [1,28]. Для обобщенной линейной регрессионной модели с автокорреляцией ковариационная матрица случайных отклонений  не может быть диагональной.

Последствия автокорреляции остатков во многом сходны с последствиями гетероскедастичности (см. раздел 5.2). Среди них особенно следует выделить ухудшение прогнозных качеств моделей временных рядов.

Поскольку автокорреляция рассматривается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов, в дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t отражающий момент наблюдения во времени (t = 1, 2, …, n). В экономических задачах более часто встречается так называемая положительная автокорреляция (Cov(_{t  1}, _t) > 0 для соседних отклонений), нежели отрицательная автокорреляция (Cov(_{t  1}, _t) < 0).

В большинстве случаев причиной положительной автокорреляции является направленное постоянное воздействие на исследуемый показатель некоторых неучтенных в модели факторов, что отражается на поведении случайного отклонения _t. Пусть, например, исследуется спрос Y(y_t) на прохладительные напитки в зависимости от дохода потребителей X по ежемесячным данным. Трендовая зависимость (основная тенденция), отражающая увеличение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной моделью (рис. 5.2). Однако фактические точки наблюдений вследствие влияния фактора сезонности будут превышать трендовую линию в летние периоды и находиться ниже ее в зимние.

Рис. 5.2.

Если рассматривать в качестве примера временной ряд y_t значений курса некоторой ценной бумаги, наблюдаемых в последовательные моменты времени, то естественно предположить, что результаты предыдущих торгов оказывают влияние на результаты последующих: завышенный (заниженный) в какой то момент времени курс скорее всего окажется завышенным (заниженным) по сравнению с реальным и на следующих торгах, т. е. здесь также может иметь место положительная автокорреляция.

Графически положительная автокорреляция выражается в чередовании зон, где наблюдаемые значения оказываются выше модельных (предсказанных), и зон, где наблюдаемые значения ниже (рис. 5.2).

Отрицательная автокорреляция характеризуется тем, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот (принцип «маятника»). Примерная схема рассеивания точек относительно линии модели в случае отрицательной автокорреляции представлена на рис. 5.3.

Рис. 5.3.

Следует заметить, что автокорреляция чаще всего может быть вызвана неправильной спецификацией модели. Поэтому для ее возможного устранения следует скорректировать саму модель: включить в уравнение регрессии дополнительный фактор-аргумент или изменить формулу зависимости. Однако это далеко не всегда приводит к положительным результатам, что вызвано сложностью экономических процессов, влияющих на поведение случайных отклонений _t. Если возможные процедуры изменения спецификации модели оказываются неэффективными, то необходимо воспользоваться так называемыми авторегрессионными преобразованиями над случайными отклонениями, среди которых наиболее простым и результативным является авторегрессионный процесс (авторегрессия) первого порядка. Авторегрессия первого порядка состоит в достаточно реалистичном предположении, что корреляция во времени наиболее сильно проявляется между двумя соседними отклонениями.

В целом для построения качественных моделей (особенно моделей временных рядов), наряду с проверкой общего качества уравнений регрессии, необходимо проводить их проверку на наличие автокорреляции остатков, и, в случае обнаружения, применять специальные методы по ее устранению.