Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Если неопределенный интеграл непосредственно не берется, то во многих случаях замена переменной интегрирования приводит к более простому интегралу
Пусть функция
определена и дифференцируема на сегменте
а множество ее значений принадлежит
сегменту [a,b]
. Пусть функция y
=f(x)
определена на [a,b]
и имеет на этом сегменте первообразную
F(x).
Тогда имеет место формула
Полученная формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
После интегрирования
нового интеграла полученная функция
является функцией переменной t.
Для возвращения к переменной х
необходимо заменить t
значением
которое находится из соотношения
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение.
=
Частным случаем
метода замены переменной интегрирования
является метод подведения под знак
дифференциала. Пусть требуется найти
интеграл
.
Предположим, что существует дифференцируемые
функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть представлено в виде
(указанное преобразование называется подведением под знак дифференциала). Тогда
,
т.е. нахождение
интеграла
сводится к нахождению интеграла
(который может оказаться проще данного)
и последующей подстановке
.
Полезно запомнить частный случай
Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
Особенно широко применяется метод введения под знак дифференциала в том случае, когда аргументом подынтегральной функции является линейна функция от переменной интегрирования.
Пример. Найти
интеграл
Решение.
Пример. Найти
интеграл
Решение.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
.
15.
.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
337.
.
34.
35.
.
36.
37.
38.
39.
40.
