Интегрирование основных классов элементарных функций
Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов
Если
то рациональная дробь называется
неправильной, при n<m,
дробь называется правильной. Всякую
неправильную рациональную дробь можно
представить (делением числителя на
знаменатель “уголком”) в виде суммы
многочлена и некоторой правильной дроби
Интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных дробей. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа простейших дробей.
1. , Целое) . 3.
(
,
целое,
).приравнивая
числители получившихся дробей, приходим
к равенству двух многочленов
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений для определения A, B, C, D, E.:
при
;
при
;
при
;
при
.
Решив эту систему, найдем коффициенты
Разложение рассматриваемой дроби имеет вид:
.
Интегрирование простейших дробей.
.
.
где
Пример. Найти неопределенный интеграл
Решение. Используя предыдущее разложение, будем иметь
Упражнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
8.
.
9.
10.
11.
12.
13.
.
14.
.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
1) Интеграл
.
Функция R(sinx,cosx)
есть
рациональная функция относительно
sinx,
cosx.
Тогда интеграл
рационализируется с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
=
Универсальная тригонометрическая подстановка приводит часто к сложным рациональным функциям. Поэтому в ряде случаев более удобны другие подстановки:
а) функция R(sinx.cosx) есть нечетная функция относительно sinx.
Применяется
подстановка t=cosx.
б) функция R(sinx.cosx) есть нечетная функция относительно cosx.
Применяется
подстановка t=sinx
в) функция R(sinx.cosx) есть четная функция относительно sinx и cosx.
Применяется
подстановка t=tgx.
2) Интегралы вида
а) Если хотя бы
одно из чисел m
или n
–положительное нечетное число, то,
отделяя от нечетной степени один
сомножитель и выражая с помощью формулы
оставшуюся четную степень через
дополнительную функцию, приходим к
табличному интегралу.
Пример. Найти
интеграл
б) Если же m и n четные неотрицательные числа, то степени понижаются с помощью тригонометрических формул:
Пример. Найти
интеграл
