Формальная постановка задания достижения нечеткой цели.

Общие подходы к решению задачи нечеткого математического программирования. Задания принятия решений, в которых система преимуществ ЛПР подается в виде одного критерия, а множество допустимых решений определяется системой ограничений, принадлежат к заданиям математического программирования. Рациональным решением в этом случае будет такое из множества допустимых, для которого достигается максимум критерия.

Нечеткость в постановке задачи математического программирования может находится как в описанном множестве альтернатив, так и в описании критерия качества.

При анализе задач нечеткого математического программирования выделяются два основных подхода. Согласно первого из них, который был предложен Белманом и Заде, задача формулируется как задача достижения нечетко определенной цели, решением которой является пересечение нечетких множеств цели и ограничений (допустимых альтернатив).

Согласно другого подхода, решения должны выбираться как это происходит в задачах многокритериальной оптимизации. Считается, что в решении должны быть лишь те альтернативы, которые не доминируются строго никакими другими. В этом случае ЛПР получает возможность большей мерой использовать свое субъективное мнение о реальной ситуации, которое не было формализовано в математической постановке задачи.

Формулирование и определение решения задачи. Основным в подходе Белмана-Заде относительно нечеткого математического программирования, является то что критерий принятия решения и множество альтернатив (ограничения, которые определяют множество допустимых альтернатив) рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив, а это позволяет определить решение задачи в довольно простой форме.

Нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели (критерия) и ограничений, и соответственно функция принадлежности решений определяющаяся как . При условии наличия нескольких критериев ограничений функция принадлежности решений будет иметь следующий вид:

.

В случае, когда задано отображение , и нечеткий критерий качества (цель) определенный на множестве Y, необходимо будет использование следующего эквивалентного к предыдущему определения нечеткого решения.

Нечетким решением задачи достижения нечеткой цели Q при условии наличия нечетких ограничений С называется максимальная в смысле вложенности нечеткое множество D, которое имеет следующие свойства:

1.D⊑C (допустимость решения).

2 (D)⊑Q (достижение нечеткой цели), где (D)- образ D при отображении.

Одним из распространённых способов выбора альтернативы, которая имеет наибольшую степень принадлежности нечеткому множеству, является

и такое решение называется максимизирующим.

Нечеткие отношения преимущества.

Проблемы выбора по отношениям преимущества. Пусть Х – некоторое универсальное множество альтернатив, - нечеткое описание подмножества допустимых альтернатив при помощи функции принадлежности.

Если любая информация отсутствует, то рациональным считается выбор произвольной альтернативы из множества ,

.

В этом случае выбирается альтернатива с наибольшим значением допустимости, потому что нет больше других обоснований для того , чтобы отдать преимущество любой другой альтернативе.

Если в эту модель вводится дополнительная информация, то рациональным может быть выбор из более узкого подмножества множества Х^С.

По результатам опроса выявлено четкое отношение нестрогого преимущества (порядка) R на множестве допустимых альтернатив Х. Это означает, что относительно любой пары альтернатив x,y X высказано одно из допущений:

1) «x не хуже, чем y», то есть или (x,y) R

2) «y не хуже, чем x», то есть y или (y,x) R

3) «x и y несравнимы между собой», то есть .

Если существует такая информация, то множество альтернатив может быть сужено путем создания множества не доминирующих альтернатив (множество Парето-оптимальных альтернатив). Выделим соответствующие R отношение строгого преимущества (полного порядка) R^S и отношение безразличия R^I. Для отношения полного порядка выполняется условие . Для обратного R^-1 к R отношения справедливо условие . Таким образом отношение строгого преимущества записывается как R^S=R\R^-1. Соответствующее отношение безразличия определяется как отношение, для которого одновременно не выполняется ни , ни y или эти два условия одновременно выполняются. Это отношение выполняется , если существующая информация в форме преимуществ недостаточна для того чтобы сделать выбор между x и y.

Отношение R^I можно записать в виде

.

Если , то альтернатива x доминирует над альтернативой y (x>y). Альтернатива х Х будет не доминированной, если для любой альтернативы y Х. Таким образом информация в виде отношения преимущества позволяет сузить класс рациональных выборов до множества не доминируемых альтернатив.

Свойства нечетких отношений преимущества. Нечеткое отношение можно рассматривать как нечеткое подмножество декартового произведения Х Х, поэтому нечеткое отношение преимущества R на множестве Х будем описывать функцией принадлежности , которая имеет свойства рефлексивности.

Нечетким отношением нестрогого преимущества R на заданном множестве альтернатив Х называется произвольно заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение. Если - нечеткое отношение нестрогого преимущества, то для любой пары альтернатив значение интерпретируется как степень выполнения преимущества «х не хуже чем у» или х≥у. Равенство означает одно из двух: или , или то что альтернативы несравнимы между собой, то есть . Рефлективность отображает тот факт, что любая альтернатива не хуже самой себя.

По заданному нечеткому отношению R нестрогого преимущества на Х однозначно определяются три следующие отношения: квазиэквивалентности, безразличия и строгого преимущества. Эти отношения определяются по аналогии с соответствующими обычными четкими отношениями, а для получения вида функции принадлежности используются определения операций пересечения, объединения и разницы нечетких множеств.

Нечетким отношением безразличия R^I называется отношение с функцией принадлежности ,

Нечетким отношением квазиэквивалентности R^E называется отношение c функцией принадлежности ,

.

По сути, отношение квазиэквивалентности описывает нечеткую эквивалентность, однако термин «отношение эквивалентности» принято использовать к нечетким отношениям, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными.

Нечеткими отношениями строгого преимущества R^S называются отношения R^S=R\R^-1 с функцией принадлежности ,

Линейность нечетких отношений. Пусть - определенное число, которое принадлежит интервалу [0,1]. Нечеткое отношение R с функцией принадлежности называется , если для его функции принадлежности выполняется условие

.

Нечеткое отношение R с функцией принадлежности называется сильно линейным, если для его функции принадлежности для всех справедливо условие .