Решения в случае нескольких нечетких отношений преимущества.
Задача выбора по нескольким отношениям преимущества. Рассмотрим задачу выбора альтернатив по нескольким отношениям преимущества, распространив результаты на нечеткие отношения. Пусть заданно множество альтернатив Х, и качество каждой альтернативы характеризуется несколькими критериями, при этом не оценена непосредственно значением того или иного критерия, а подана в форме соответственных отношений преимуществ на множестве альтернатив.
Таким образом, необходимо осуществить рациональный выбор при условиях наличия информации (Х,R1,…,Rm) где Х – множество альтернатив, R1,…,Rm - множество отношений преимущества. В начале рассмотрим простейший случай, а именно когда отношение Rj описывается заданными функциями-критериями Qj:XR1 где R1 – ось чисел. значение функции Qj (х) является числовой оценкой альтернативы х по критерию Qj. Альтернатива с большим значением критериев является в этом смысле этого критерия лучшей. Задача заключается в том, чтобы выбрать рациональную альтернативу по нескольким критериям. Рациональным выбором в этом случае, будет построение множества недоминирующих альтернатив, то есть альтернатив, оптимальных по Парето.
С
другой стороны, каждый из критериев
описывает обычное отношение преимущества
на множестве Х, которое имеет вид:
.
Пусть
.
В этом случае множество решений, оптимальных по Парето- то есть множество всех недоминирующих альтернатив совпадает с множеством эффективных альтернатив для набора функций, что отображает критерии качества.
Пусть
х0
– недоминирующая альтернатива в
множестве (X,Ul),
то есть
, где
-
отношение строгого порядка, которое
отвечает отношению Ul,
Поэтому для недоминируемых альтернатив справедливо следующее утверждение
Справедливо
и обратное утверждение, то есть любая
эффективная альтернатива для критериев
,
j=1,…,m
являются недоминирующими на множестве
(X,Ul).
Таким образом для нахождения множества эффективных альтернатив вместо набора отношений R1,…,Rm можно использовать пересечениеэтих отношений Ul и найти подмножество недоминирующих альтернатив множества (X,Ul).
Пусть
- функция принадлежности множества Rj. В этом случае функция принадлежности пересечения этих отношений будет следующей
и она эквивалента сворачиванию критериев
.
Расширяя это определение на класс нечетких отношений, получаем в результате сворачивания первичных нечетких отношений Rj функцию принадлежности нечеткого отношения
где
-является
числом, которое принадлежит интервалу
[0,1].В общем случае это отношение не
является рефлексивным, то есть не
является отношением преимущества в
смысле определения, то есть является
не удобным для использования при условиях
необходимости учета различий в отношении
важности первичных нечетких отношений
преимущества.
Попробуем обозначить такое отношение, для которого сохронялось бы свойство рефлексивности. С этой целью рассмотрим сворачивание отношений немного другого типа, а именно
.
Отметим,
что результирующее нечеткое отношение
в этом случае является рефлексивным,
потому что рефлексивными являются
состовляющие первичные нечеткие
отношения преимуществ Rj.
Пусть все первичные нечеткие отношения
преимуществ одинаковы по важности, то
есть
.
Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив:
Обозначим
- подмножества четко недоминирующих
альтернатив множеств
которые порождены критериями Qj(x),j=1,…,m.
Для этих подмножеств справедливо
соотношение
.
Таким образом в общем случае множество
не охватывает все эффективные альтернативы
для критериев Qj(x),j=1,…,m
то есть не совпадает с множеством
.
Однако любая произвольная эффективная
альтернатива, то есть произвольный
элемент
, принадлежит множеству
с положительной степенью принадлежности,
то есть
.
Возможно сузить выбор до следующего множества:
.
Основываясь
на предыдущие результаты , приведем
алгоритм принятия решений для общей
задачи, когда на множестве альтернатив
заданы m
нечетких отношений преимуществ R1,…,Rm
и весовые коэффициенты
относительной важности этих отношений.
1 Строим нечеткое отношение U1 (пересечение первичных отношений):
и
определяем нечеткое подмножество
недоминирующих альтернатив в множестве
:
2. Строим нечеткое отношение U2 (сворачивание отношений с сохранением свойств рефлексивности):
и
определяем нечеткое подмножество
недоминирующих альтернатив в множестве
:
.
3.
Находим пересечение множеств
4. Рациональным выбором будет выбор альтернативы из множества:
Рациональный
выбор на нечетком множестве альтернатив.
Пусть Х – универсальное множество
альтернатив. На Х задано нечеткое
подмножество допустимых альтернатив
.
Заданное на Х нечеткое отношение
преимущество обозначим как
.
Если мы рассмотрим проблему рационального выбора при условии нечеткого множества альтернатив, то необходимо также учитывать следующее отношение преимуществ, которое индуцировано на множестве Х функцией v:
Ввод этого дополнительного отношения преимущества задачу из нечеткого описания множества допустимых альтернатив приводит к задаче с четким множеством альтернатив и дополнительным отношением преимущества, для решения которой можно использовать рассмотренный алгоритм.