Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений

В отличие от задачи Коши, в краевой задаче условия, определяющие решение дифференциального уравнения на заданном отрезке [a, b], формулируются в нескольких точках этого отрезка. Наиболее часто рассматривается двухточечная краевая задача, когда условия задаются только на концах отрезка: в точках a и b.

Линейная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка может быть сформулирована следующим образом. Требуется найти решение уравнения

, (14)

удовлетворяющее краевым условиям:

(15)

Предполагается, что p, q, f – дважды непрерывно дифференцирумые функции; входящие в краевые условия величины являются константами. Если в уравнении (14) , уравнение называется однородным. Если уравнение однородно и при этом A=B=0, краевая задача называется однородной. Отметим, что однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение.

Решение линейной краевой задачи методом редукции к задачам Коши

Рассмотрим линейную краевую задачу (14), (15). Решение будем искать в виде

, (16)

где C – константа, u(x) – ненулевое решение однородного уравнения , функция v(x) – решение неоднородного уравнения (14) (если , то v(x) представляет собой отличное от u(x) решение однородного уравнения).

Подставим решение (16) в первое из условий (15):

(17)

Потребуем, чтобы это краевое условие выполнялось независимо от значения C. Обнулим коэффициент при C и приравняем к A второе слагаемое:

, .

Для выполнения этих равенств достаточно положить

, (18)

. (19)

Тем самым сформулированы задачи Коши для функций u(x), v(x), сумма которых (16) представляет решение уравнения (14), удовлетворяющее краевому условию в точке x=a.

Найдя решение этих задач Коши на отрезке [a,b], подберем постоянную C так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию в точке x=b:

. (20)

Если , то из условия (20) можно найти:

, (21)

и краевая задача имеет единственное решение. Если же знаменатель равен нулю, то задача или совсем не имеет решений, или имеет их бесконечно много.

Если исходное уравнение (14) является однородным ( ), и при этом A=0, то решение ищут в виде , где u(x) – решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (18). В этом случае

(при условии, что знаменатель в этом выражении не равен нулю).

Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей

Решение рассматривается на сетке с постоянным шагом:

Обозначим:

– значения соответствующих функций в точке x_i.

Во внутренних узлах сетки производные, входящие в уравнение (14), аппроксимируются с помощью формул:

(16)

(17)

Заменив в уравнении (14) производные их приближенными выражениями, придем к системе алгебраических уравнений:

(18)

где , , .

Аналогично заменим приближенными выражениями производные, входящие в краевые условия (15); при этом в точке x=b воспользуемся формулой (16), в точке x=a применим формулу:

(19)

В результате, приведем, краевые условия к следующему виду:

(2h₀– 3₁)y₀ + 4₁y₁ – ₁y₂ = 2hA, (20)

–₁y_n–1 + 2h₀y_n + ₁y_n+1 = 2hB (21)

Получим, в итоге, систему из (n+2) алгебраических уравнений относительно неизвестных . Эта система имеет почти трехдиагональную матрицу; лишние ненулевые компоненты находятся только в первой и последней строках матрицы, соответствующих уравнениям (20) и (21).

Приведем матрицу системы к трехдиагональному виду. Для этого, используя первое из уравнений (18), приведем уравнение (20) к виду:

(22)

где Кроме того, используя уравнение (21), обнулим коэффициент при в последнем из уравнений (18); получим в результате:

(23)

Теперь можно исключить из рассмотрения уравнение (21). Получаем, в итоге, систему с трехдиагональной матрицей, включающей уравнение (22) и систему уравнений (18), в которой последнее уравнение заменено уравнением (23).

Для решения полученной системы уравнений используется метод прогонки. Приводим уравнения системы к виду:

.

Для этого последовательно вычисляем коэффициенты:

, ,

, ,

, .

На этом заканчивается этап прямой прогонки. Далее следует этап обратной прогонки – последовательное вычисление значений неизвестных:

Для оценки погрешности решения и его уточнения можно использовать правило Рунге (формулы (8) и (9)), учитывая при этом порядок точности метода конечных разностей p=2.

Решение краевой задачи методом пристрелки

В методе пристрелки рассматривается двухточечная краевая задача для системы дифференциальных уравнений

,

или в векторной форме

. (24)

В качестве краевых условий заданы значения искомых функций на концах отрезка , причем часть условий задана в точке a, а другая часть - в точке b:

Числа i и j могут частично или даже полностью совпадать; однако между собой все числа i различны, также как и числа j.

Метод состоит в сведении краевой задачи к задаче (или задачам) Коши. Для того, чтобы можно было решать задачу Коши, исходя из точки a, нужно добавить недостающие (n–k) условий – значений неизвестных функций в точке a. При отсутствии каких-либо предположений относительно недостающих условий, эти условия выбираются произвольным образом. Аналогично добавляется k недостающих значений неизвестных функций в точке b. Тем самым формируется вектор недостающих или добавленных параметров P, часть координат которого относится к точке a, и часть к точке b. После добавления недостающих параметров – добавления недостающих условий – можно решать задачу Коши, как исходя из точки a, так и исходя из точки b, – навстречу друг другу.

Обозначим:

– решение задачи Коши, исходящее из точки a при заданном значении вектора P,

– решение, исходящее из точки b.

Если добавленные условия (координаты вектора P) выбраны правильно, то во всех внутренних точках отрезка . Если добавленные условия неверны, то существует расхождение: . Поэтому задача состоит в поэтапном улучшении первоначально добавленных условий – корректировке координат вектора P – до тех пор, пока решения не совпадут. В этом и состоит суть метода пристрелки.

Для решения задачи выбираем точку сшивания . Если координаты вектора P выбраны правильно, то выполняется равенство:

.

В общем случае существует невязка:

.

Цель состоит в решении системы уравнений:

, (25)

т.е. в нахождении такого значения вектора P, при котором невязка равна нулю. Если это решение найдено, то любая из функций: или – является решением исходной краевой задачи.

Решение системы (25) находят каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона. Обозначим:

P^s – значение вектора недостающих параметров на шаге итераций с номером s,

F^s = F(x_c,P^s) – соответствующее значение вектора невязки.

В соответствии с методом Ньютона приближение с номером s+1 вычисляется по формуле:

P^s+1 = P^s – (J^s)^–1 * F^s, (26)

где - значение матрицы частных производных на шаге итераций с номером s.

Отметим, что вместо вычислений по формуле (26) предпочтительнее решать систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора приращений P^S = P^S+1 – P^S:

J^S *P^S = -F^S, (27)

т.к. вычисление обратной матрицы (J^S)^–1 требует большего объема вычислений, чем решение системы (27).

Итак, начиная с выбранного нулевого приближения , можно найти решение уравнения (25) с требуемой точностью. Однако трудность состоит в том, что неизвестно аналитическое выражение для невязки: на каждом шаге итераций – невязка представлена только набором из n чисел. Поэтому вместо точных значений частных производных приходится использовать их оценки. Для получения этих оценок координатам вектора недостающих параметров поочередно даются приращения, и для каждого приращения вновь решается задача Коши. Обозначим:

– приращение j-ой координаты вектора недостающих параметров на s-ом шаге итераций,

– приращение i-ой координаты вектора невязки.

Тогда отношение дает оценку значения частной производной . Таким образом, приращение одной из координат вектора P^S и повторное решение задачи Коши позволяет найти один из столбцов матрицы J^S. Для нахождения всех столбцов матрицы следует решить задачу Коши (n+1) раз на каждом шаге итераций.

В случае, когда решение задачи Коши устойчиво на отрезке [a,b], размерность задачи может быть уменьшена. Для этого в качестве точки сшивания выбирается одна из границ отрезка. При этом размерность вектора P может выть снижена до m = min(k, n-k). В частности, для дифференциального уравнения 2-го порядка (или для системы из двух уравнений 1-го порядка) вектор недостающих параметров сводится к скаляру.

Отметим, что при решении линейной краевой задачи достаточно выполнить один шаг итераций.