Вычисление интегралв
Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса
Формулы для вычисленитя интегралов называют квадратурными формулами. Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса являются формулами интерполяционного типа. Эти формулы выводятся путем замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа и интегрирования этого многочлена. При этом часто в подинтегральном выражении предварительно выделяют положительный сомножитель – весовую функцию – учитывающий особенности подинтегральной функции. Формулы могут быть представлены в виде:
(1)
Здесь
(x)0
– весовая функция, а коэффициенты
определяются формулой:
,
(2)
где
Цель введения весовой функции состоит в повышении точности квадратурной формулы путем учета особенностей подинтегральной функции. Например, при вычислении интеграла
,
где
f(x)
- гладкая функция, не равная нулю в точке
x=0,
целесообразно выделить в качестве
весовой функцию
;
тогда коэффициенты C
определяются по формуле (2) с учетом
особенности подинтегральной функции
в начальной точке отрезка интегрирования.
Если подинтегральная функция не имеет
особенностей, то следует положить (x)
1.
Формулы Ньютона-Котеса строятся на равномерной сетке узлов:
Различают
формулы замкнутого
типа, если
и
,
и формулы разомкнутого
типа, если
хотя бы один из концевых узлов не
совпадает с соответствующей граничной
точкой отрезка интегрирования. Формулы
Ньютона-Котеса, построенные для n
узлов, точны для любого многочлена
степени меньше n.
Подставив в формулу (1) многочлен нулевой
степени f(x)1,
получим условие нормировки коэффициентов:
.
(3)
Квадратурные
формулы Гаусса,
или квадратурные
формулы наивысшей алгебраической
степени точности
строятся для неравномерной сетки узлов.
Узлы интерполяции xk
и коэффициенты
выбираются так, чтобы формулы были точны
для любого алгебраического многочлена
степени m
2·n–1.
Это означает, что
,
удовлетворяет системе уравнений:
(4)
Решение системы (4) дает один из способов нахождения параметров формулы Гаусса. Отметим, что первое из уравнений системы совпадает с условием нормировки коэффициентов (3).
Обозначим
через
многочлен,
корнями которого являются узлы
интерполяции:
(5)
Для формулы Гаусса справедливо следующее утверждение: многочлен ортогонален с весом (x) любому многочлену q(x) степени меньше n, т.е.
;
(6)
Условие
ортогональности (6) эквивалентно
требованиям:
(7)
которые
представляют собой систему уравнений
относительно неизвестныx
Отсюда следует второй способ
нахождения параметров формулы Гаусса:
положение узлов интерполяции определяется
из системы (7), а коэффициенты
вычисляются по формуле (2), либо путем
решения системы (4), в которой в данном
случае достаточно оставить только n
уравнений.
Если весовая функция четна относительно середины отрезка интегрирования, то есть
[(a + b)/2 – y] = [(a + b)/2 + y] при 0 y (b – a)/2, или, иначе,
[x] = [a + b – x] при a x b,
то формула Гаусса является симметричной: узлы формулы расположены симметрично относительно центра отрезка, а коэффициенты попарно равны:
(a
+ b)/2
–
=
–
(a
+ b)/2
или
=
a
+
b
–
,
=
,
k = 1, . . ,m,
где
m есть целая часть частного n/2. Если число
узлов – нечетно:
то
=
(a
+ b)/2,
а коэффициент
может быть определен из условия нормировки
.
Таким образом, при наличии четной весовой функции количество уравнений в системах (4) и (7) может быть уменьшено не менее чем в два раза.
Произвольный отрезок интегрирования [a, b] можно привести к стандартному отрезку [-1, 1] линейным преобразованием:
t = -1 + (x – a)·2/(b – a), x = a + (t + 1)(b – a)/2
Если a= -1, b=1, то для симметричных формул имеем:
,
Напомним, что интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю. Так, например,
независимо от значений , k = 1, . . ,m. Поэтому в случае симметричного отрезка интегрирования для нахождения узлов формулы Гаусса следует использовать только те из уравнений (7), в которых подинтегральная функция является четной функцией x.
Из
условия ортогональности (6) следует, что
многочлены
,
описывающие узлы формулы Гаусса, образуют
ортогональную систему:
,
n
m.
Для ряда весовых функций известны соответствующие ортогональные системы многочленов и формулы, позволяющие непосредственно вычислять положение узлов и коэффициенты формулы Гаусса.
Рассмотрим типичные примеры.
1.
(x)
1, a
= -1, b
= 1. В этом
случае узлы формулы Гаусса совпадают
с корнями многочлена
Лежандра
:
,
,
.
Для многочленов Лежандра существует рекуррентная формула:
.
Значения коэффициентов можно определить по формуле:
2.
(x)
= 1/
,
a
= -1, b
= 1. Узлы
квадратурной формулы Гаусса совпадают
с корнями многочленов
Чебышева первого рода
T(x)
и весовые коэффициенты для всех узлов
одинаковы:
=
Cos(n·arcCos(x)),
=
Cos[(2k-1)/(2n)],
=
/n,
k = 1, .
.
,n.
3. (x) = , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева второго рода:
=
Sin[(n+1)·arcCos(x)]/Sin[arcCos(x)],
Узлы многочленов расположены в точках
= Cos[k·/(n+1)], k = 1, . . ,n
Например, при n=3:
Вообще для данной весовой функции условие нормировки коэффициентов формулы Гаусса имеет вид:
4.
(x)
= exp(
),
a
= –,
b
= .
Узлы квадратурной формулы Гаусса
совпадают с корнями многочленов
Эрмита:
=
1,
или
Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
.
5.
(x)
=
·exp(
),
a
= 0, b
= .
Узлы квадратурной формулы Гаусса
совпадают с корнями многочленов
Лагерра:
.
Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
(x) =
a
= –1, b
= 1. Узлы
формулы Гаусса совпадают с корнями
многочленов
Якоби:
.
В
частном случае, при ,
-1/2,
(x)
=
первые три многочлена Якоби имеют вид:
Формула Ньютона-Котеса замкнутого типа при n=3 и (x)1:
h
= b – a, –
называется
простой
формулой Симпсона.
Для повышения точности расчетов отрезок
интегрирования часто разбивают на
несколько подотрезков. Пусть отрезок
[a, b]
разбит на m частей так, что
,
,
i=0,..,m-1 и
.
Формула
называется составной формулой Симпсона. Для подинтегральной функции, имеющей непрерывную четвертую производную, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности; главный член погрешности определяется соотношением:
Если
подинтегральная функция имеет какие-либо
особенности, то порядок точности
квадратурной формулы снижается. Так,
для формулы Симпсона эффективный порядок
может быть менее четырех. В подобных
случаях для повышения точности расчетов
и для определения значения эффективного
порядка выбранной квадратурной формулы
используют процесс
Эйткена. Для
этого проводят расчеты с различным
шагом h
(или, иначе, с делением исходного отрезка
[a, b]
на разное число частей). Обозначим:
– результат расчетов при использовании
шага
,
k=1;2;3, q
– целое число (например, q=2). Уточненное
значение интеграла определяется по
формуле:
.
Эффективный порядок квадратурной формулы оценивается соотношением
.