5. Операции с векторами и матрицами

Ч тобы создать вектор или матрицу нужно вызвать диалоговое окно, показанное на рисунке. Окно вызывается с помощью команды меню Insert Matrix или с помощью клавишной команды Ctrl+M. Вызвать окно можно также, щелкнув мышкой на изображении матрицы на панели инструментов Matrix. Указав требуемое количество строк и столбцов, нажмем на кнопку OK, – появится “заготовка для матрицы”. Остается только ввести значения элементов. Клавиши Insert и Delete позволяют добавить или удалить элементы матрицы.

Правила написания некоторых из матричных операторов приведены в таблице.

Таблица 5.1. Матричные операции

Название операции	Правило написания	Вид на экране
Приписывание индекса i переменной V	V[i	Vi
Приписывание переменной двух индексов	M[i,j	Mi,j
Суммирование всех элементов вектора V	Ctrl+4 V	V
Транспонирование матрицы M	M Ctrl+1	MT
Выделение i-го столбца матрицы M	M Ctrl+6 i	M<i>
Вычисление определителя матрицы (длины вектора) M	|M	|M|
Возведение матрицы M в степень n	M^n	Mn
Вычисление обратной матрицы	M^-1	M-1
Произведение матриц M и N	M*N	M.N
Скалярное произведение векторов V и U	V*U	V.U
Векторное произведение векторов V и U	V Ctrl+8 U
Операция “Vectorize” – применение функции f(x) к элементам массива М	f(M) Ctrl+-

Замечания:

• Нумерация элементов векторов и матриц по умолчанию начинается с нуля. При необходимости нумерацию можно изменить. Для этого с помощью команд меню Tools – Worksheet Options открыть многостраничное диалоговое окно и на странице Built-In Variables изменить параметр Array Origin.

• Приписывание значений индексной величине – это, по существу, создание вектора или матрицы.

• Операция векторное произведение определена только для трехмерных векторов.

Полный список матричных функций можно увидеть в диалоговом окне Insert Function, в разделе Vector and Matrix. Напомним, что окно можно открыть, нажав на кнопку f(x) на панели инструментов. Приведем некоторые из этих функций.

matrix(m, n, f) – создает матрицу , значения элементов которой определяются функцией f(i, j).

augment(A, B, C, …) – возвращает массив, составленный из размещенных слева направо векторов или матриц с одинаковым числом строк.

stack(A, B, C, ...) – выдает массив, составленный из размещенных сверху вниз матриц с одинаковым числом столбцов, либо векторов с одинаковым числом элементов, либо скаляров.

cols(M) – подсчитывает количество столбцов матрицы M.

rows(A) – подсчитывает количество строк матрицы M.

diag(V) – создает диагональную матрицу с элементами вектора V на диагонали.

eigenvals(M) – возвращает вектор, составленный из собственных чисел матрицы M.

eigenvec(M, z) – вычисляет нормированный собственный вектор матрицы M, соответствующий собственному числу z.

eigenvecs(M) – выдает матрицу, столбцами которой являются нормированные собственные векторы матрицы M.

identity(n) – возвращает единичную матрицу n на n.

length(V) – подсчитывает количество элементов вектора V.

last(V) – номер последнего элемента вектора V.

l u(M) – матрица, включающая три матрицы: матрицу перестановок – P и две треугольные матрицы – верхнюю и нижнюю – L и U. Матрица U представляет собой результат применения к матрице M метода исключения Гаусса. Матрица L содержит единицы на главной диагонали, а ниже главной диагонали содержит коэффициенты, с которыми проводилось вычитание в ходе применения метода исключения. Произведение этих трех матриц равно исходной матрице M.

Сортировка элементов векторов и матриц.

sort(V) – располагает элементы вектора V в порядке возрастания.

csort(A,n) – переставляет строки матрицы A так, чтобы элементы n–ого столбца были расположены в порядке возрастания.

rsort(A,n) – переставляет столбцы матрицы A так, чтобы элементы n–ой строки были расположены в порядке возрастания.

reverse(A) – располагает элементы вектора или строки матрицы в обратном порядке.

max(A, B, …) – максимальный элемент из множества {A, B, …}, которое может включать скаляры, векторы и матрицы. Если множество содержит комплексные числа, то функция max возвращает max[Re(A, B, …)]+i*max[Im(A, B, …)]. Аналогично – функция min(A, B, …).

rank(M) – ранг действительной матрицы M.

tr(M) – сумма диагональных элементов матрицы M.

mean(A, B, …) – среднее арифметическое элементов множества {A, B, …}, где A, B, … – массивы или скаляры.