2.4 Классическое определение вероятности события

Исход опыта называется благоприятным событию А, если в результате опыта событие А свершилось. Вероятностью события A назовем число Р(А)= , где m – число благоприятных событию А исходов, n – число всех исходов в данном опыте.

Пример 4. Опыт- бросание игрального кубика. Событие А - выпадение числа очков, кратного 3. Пусть X – число очков, тогда все возможные исходы нашего опыта: (Х=1), (Х=2), (Х=3), (Х=4), (Х=5), (Х=6), равновозможны. Всего случаев n=6, благоприятных из них m=2, следовательно,

P(A) = = .

2.5 Элементы комбинаторики

Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.

Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.

Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями, если элементы в выборке повторяются.

Например, телефонный номер 260-61-51 - упорядоченная выборка с повторениями из десяти цифр по семи.

Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти из следующей таблицы.

Таблица 1

Пример 5. Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками.

Решение.

Воспользуемся классической формулой Р(А)= , всего случаев , так как имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, благоприятных из них . Следовательно,

Запомните: 0!=1.

2.6 Основные теоремы

2.6.1 Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.

Р(А₁+А₂+А₃+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+...+Р(А_n) - Р(А₁·А₂) - Р(А₁·А₃) - … -Р(А₁·А_n) - Р(А₂·А₃) - ... - P(A_n-1·A_n)+P(А₁·А₂·A₃)+P(А₁·А₂·A₄)+...+P(А_n-2·А_n-1·A_n)+...+ +(-1)^n-1 P(A₁·A₂·...·A_n).

Следствие 1.

Если события А₁, А₂, ... ,А_n несовместны, то

Р(А₁+А₂+А₃+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+...+Р(А_n).

Следствие 2.

Вероятность суммы двух любых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В).

Замечание.

P(A) + P( ) = 1, откуда P( ) = 1−P(A).

2.6.2 Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью Р(А/В) события А относительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения.

Р(А₁·А₂·А₃·...·А_n)=Р(А₁)·Р(А₂/А₁)·Р(А₃/А₁·А₂) ·...·Р(А_n/А₁·А₂·А₃·...·А_n-1).

Правило (теорема) умножения для двух событий. Вероятность произведения двух любых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого, то есть

Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность события А относительно события B равна безусловной вероятности события А, то есть Р(А/В)=Р(А). Нетрудно доказать, что если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Следствие. Если события А и В независимы, то Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Пример 6. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на два выбранных наудачу вопроса?

Решение.

Рассмотрим события: А- студент знает ответ на первый вопрос, В- студент знает ответ на второй вопрос. Найдем Р(А·В).

Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) =

Определение. Несколько событий называют независимыми (или независимыми в совокупности), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следовательно, если А₁, А₂, ... ,А_n независимы, то справедливо правило умножения для независимых событий

Р(А₁·А₂·А₃·...·А_n)=P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)·...·P(A_n).

Пример 7. Два студента выполняют независимо друг от друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено первым студентом 0,6; для второго студента эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что

• оба студента выполнят задание;

• только один из них выполнит задание;

• хотя бы один из них выполнит задание.

Решение.

События: А - задание выполнит первый студент, В - задание выполнит второй студент. По условию Р(А) = 0,6; Р(В)=0,8; следовательно, Р( ) = 1–0,6 = 0,4; P( ) = 1–0,8 = 0,2.

• Р(А·В) = /события А и В - независимые события / = Р(А)·Р(В) = 0,6·0,8 = 0,48.

• Р(А· + ·B) = / A· и ·B - несовместные события /= Р(А· ) + Р( ·B) = Р(А)·Р( ) + Р( )·Р(В) = 0,6·0,2 + 0,4·0,8 = 0,44.

• P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-Р(А·В)=0,6+0,8– –0,48=0,92.