Биквадратные уравнения имеют вид:

Решаются в два этапа.

1-ый этап: путем замены , исходное уравнение приводится к квадратному: и решается обычным образом. Если найдены корни переходим ко второму этапу, если квадратное уравнение не имеет корней, то и соответствующее биквадратное так же не имеет корней.

2-ой этап: решаем уравнение замены для каждого корня .

Примечание. Если значение , то соответствующее уравнение не имеет корней.

Пример. пусть , тогда

Вернёмся к уравнению замены:

1. 2)

Ответ: .

Дробно рациональные уравнения.

, где называются рациональными. Решение такого уравнения сводится к решению уравнения и проверки условия ОДЗ:

Прим.

Замечание: решение уравнения надо начинать с приведения к общему виду.

Системы уравнений решаются двумя способами:

1.Способ сложения

Прим. домножаем обе части второго уравнения на -2;

; складываем соответствующие части двух уравнений (первое без изменений)

; теперь второе уравнение содержит одну неизвестную, находим её

; подставляем значение найденной неизвестной в первое уравнение

Ответ: (-1;0) либо: , либо: , .

2. Способ подстановки

Прим. ; из второго уравнения выражаем x. Меняем уравнения местами.

; подставляем это выражение вместо x во второе уравнение

; теперь второе уравнение содержит только одну неизвестную

; приводим подобные, решаем уравнение

; ; подставляем значение y в первое уравнение

; Ответ: (-1;0) либо: , либо: , .

Если в ходе решения системы уравнение, содержащее одну неизвестную, является квадратным (или имеет другой нелинейный вид), то решать его надо отдельно. Далее, для каждого значения одной неизвестной надо найти соответствующее значение другой неизвестной.

Прим. ; ;

1) ; ; 2) ; ;

Ответ: (-2;-1), (2;3).

Неравенства первой степени или линейные решаются подобно линейным уравнениям (всё, что с «х» влево, всё, что без «х» вправо). Нужно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же число, знак неравенства не меняется, если это число положительно и меняется на противоположный, если отрицательно.

Пример1.

Теперь изобразим соответствующий интервал:

Отв:

Пример2.

Теперь изобразим соответствующий интервал:

Отв:

Квадратные неравенства или неравенства второй степени.

Все неравенства кроме линейных решаются методом интервалов. Однако некоторые виды неравенств можно решать графическими методами.

Рассмотрим решение неравенств второй степени. Общий вид таких неравенств:

Решение графическим методом: Пусть , графиком данной функции является парабола, направление ветвей которой зависит от знака коэф. при (если a>0 вверх, если a<0 вниз). Найдем точки пересечения графика функции с Ох, т.е. найдем корни уравнения . Схематично построим график учитывая направления ветвей и выберем интервалы соответствующие знаку неравенства.

Пример.

Отв.:

Решение методом интервалов:

1. неравенство приводится к виду:

2. находятся корни уравнения

3. на числовой оси обозначаются корни (в зависимости от знака неравенства закрашенные или нет), которые разбивают всю числовую ось на интервалы:

4. определяется знак выражения на каждом интервале. Для этого из каждого интервала выбирается число и подставляется в выражение.

5. выбираются интервалы, знак которых совпадает с требуемым.

Пример.

На каждом интервале выбираем число и подставляем в последнее неравенство, стоящее перед уравнением, и определяем знаки на интервалах. Заштриховываем интервалы с нужным знаком:

Отв.: