Преобразование моделей

К функциям преобразования моделей относятся следующие функции, для краткости описания указанные только именами.

• tf – преобразует LTI-модель в tf-форму;

• zpk – преобразует LTI-модель в zpk-форму;

• ss – преобразует LTI-модель в ss-форму;

• frd – преобразует LTI-модель в frd-форму;

• chgunits – изменяет размерность частоты в frd-модели;

• c2d – преобразует непрерывную модель в дискретную;

• d2c – преобразует дискретную модель в непрерывную;

• d2d – изменяет интервал дискретизации в дискретной модели.

«Арифметические» операции с моделями

Функции этой группы позволяют создавать и изменять структуры динамических систем. Внешне они подобны арифметическим опера­торам, но операндами в данном случае являются LTI-модели.

• plus (minus) или + (-) – сложение (вычитание) LTI-моделей (параллельное соеди­нение);

• mtimes или * – умножение LTI-моделей (последовательное соединение);

• \ – левое деление (sysl\sys2 равносильно inv(sysl)*sys2);

• / – правое деление (sysl/sys2 равносильно sysl*inv(sys2));

• ^ – возведение LTI-модели в степень (последовательное соедине­ние нескольких одинаковых LTI-моделей);

• ' – операция pertransposition, означающая замену матрицы систе­мы А(р) на матрицу [А(-р)]^Т; для дискретных моделей – замена матрицы А(z) на матрицу A(z^-1)]^T;

• .' – транспонирование модели;

• [.. ] – горизонтальное/вертикальное объединение LTI-моделей, т.е. такое их объединение, когда входы становятся общими, а выходы остаются независимыми. Для такого объединения необходимо, чтобы число входов объединяемых моделей было одинаковым, тогда число входов в результирующей модели останется таким же, как и в каждой из объединяемых моделей, а число выходов будет равно сумме выходов объединяемых моделей;

• inv – обращение LTI-модели (замена входов на выходы и наобо­рот);

• feedback – соединение двух звеньев, при котором второе звено составляет цепь отрицательной обратной связи для первого звена.

Рассмотрим в качестве примера создание модели линейной стационарной системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии , охваченной единичной отрицательной обратной связью.

» W1=tf([0 100],[1 0]);

» W2=tf([1 1],[5 1]);

» W3=tf([1 1],[5 1]);

» W4=tf([0 1],[0.1 1]);

» W5=W1*W2*W3*W4;

» Woc=1;

» sys=feedback(W5, Woc)

Transfer function:

100 s^2 + 200 s + 100

------------------------------------------

2.5 s^4 + 26 s^3 + 110.1 s^2 + 201 s + 100

Эту же систему более просто можно создать с помощью приложения Simulink (рис. 14).

Рис. 14. S–модель системы автоматического управления

Если теперь выполнить анализ системы с помощью интерактивного обозревателя ltiview, который можно вызвать командой ltiview из главного окна MATLAB, или с помощью команды Linear Analysis меню Tools созданной S-модели. После выполнения команды на экране появляется окно LTI Viewer, из меню File которого с помощью команды Export необходимо осуществить загрузку модели в рабочее пространство. Далее с помощью функции tf(sys_1), где sys_1 имя системы, под которым она загружена в рабочее пространство, из командного окна MATLAB можно найти нужную передаточную функцию системы:

» tf(sys_1)

Transfer function from input "Input Point" to output "Output Point":

40 s^2 + 80 s + 40

----------------------------------------

s^4 + 10.4 s^3 + 44.04 s^2 + 80.4 s + 40

Полученное выражение полностью совпадает с найденной ранее передаточной функцией замкнутой системы (после сокращения числителя и знаменателя на 2,5).

Если потребуется найти передаточную функцию по ошибке, то достаточно в S-модели назначить другой выход (рис. 2).

Рис. 15. S-модель системы для определения передаточной функции по ошибке

» tf(sys_2)

Transfer function from input "Input Point" to output "Output Point":

s^4 + 10.4 s^3 + 4.04 s^2 + 0.4 s + 2.842e-015

----------------------------------------------

s^4 + 10.4 s^3 + 44.04 s^2 + 80.4 s + 40

Анализ показывает, что последнее слагаемое числителя пренебрежимо мало по сравнению с другими, более того, оно должно отсутствовать в выражении передаточной функции системы по ошибке. Видимо, появление этого слагаемого следует отнести к недостаткам используемого приложения MATLAB.

Подобным образом очень легко “свертываются” структурные схемы сложных многоконтурных систем. Рассмотрим определение передаточной функции датчика натяжения нити с вращающимися нитепроводниками [2]. При использовании подсистем и пренебрежении моментом сухого трения в опорах датчика его S-модель имеет вид (рис. 16).

Рис. 16. S-модель датчика натяжения нити

Передаточная функция по каналу “натяжение-выход датчика” легко получается при использовании из командного окна MATLAB функции tf(datchik_lin_analysis_1):

tf(datchik_lin_analysis_1)

Transfer function from input "Input Point" to output "Output Point":

4.636e004s^5+6.074e006s^4+1.941e008s^3+2.643e009s^2+

-------------------------------------------------------

s^8+146s^7+1.029e004s^6+4.97e005s^5+1.618e007s^4+

+1.66e010s+3.976e010

-----------------------------------------------

+3.089e008s^3+3.265e009s^2+1.772e010s+3.859e010

С помощью полученной передаточной функции можно легко получить переходную и частотные характеристики датчика:

» step(tf(datchik_lin_analysis_1))

» bode(tf(datchik_lin_analysis_1))

Рис. 17. Переходная характеристика датчика	Рис. 18. Частотные характеристики датчика

Сравнение характеристик, показанных на рис. 17 и 18, с аналогичными характеристиками, полученными с помощью приложения Simulink [2], показывает их полное совпадение.