Өз бетінше орындауға арналған есептер.

_{1. Бір бөлмелі пәтердің баға жөнінде және бір аймақтағы 10 келісім бойынша оның жалпы ауданы жөнінде деректер бар:}

Пәтердің бағасы (млн.доллар)	19	21	25	25	35	36	35	34	28	27
Аудан, м2	35	35	33	34	38	40	40	39	37	36

сызықты регрессия параметрлері есептелген және көрсеткіштер арасындағы байланыс тығыздығы белгілі.

Теңдеудің жалпы статистикалық маңыздылығын және сонымен қатар регрессия мен корреляция параметрлерін 0,05 маңыздылығы кезінде Фишер және Стьюдент критериілер арқылы бағалаңыз.

2. Қазақстанның 20 аймағы бойынша жандық орта жылдық кіріс теңдеуінің ауыр еңбекпен шұғылданатын адамдар, жалпы жұмыс істейтін (х₁), белсенді тұрғындар, барлық тұрғындардың саны (х₂) мәндерін Ғ-Фишер критериі арқылы статистикалық маңыздылығын бағалаңыз, егер корреляция коэффициенті болса. Жиынтық регрессия теңдеуінің және айнымалалары кезінде коэффициенттерінің маңыздылығын -Стьюдент критериі арқылы есептеңіз. Қосалқы корреляция коэффициенттері келесі мәндерде болады: , , .

12 Тақырып. Гетероскедастикалық

Мысал. 20 зерттеу бойынша азық-түлікке у (бірлік ақша) моделі құрылған у=20,84+0,44 х-тың әр мәнінде қалдықтар шамалары мынадай болады:

№		Қалдық
1	30	-12,0
2	36	-11,7
3	40	-5,4
4	45	-5,6
5	50	-2,8
6	60	0,8
7	70	-1,6
8	80	-4,0
9	85	-6,2
10	90	6,6
11	92	13,7
12	100	12,2
13	120	4,4
14	130	4,0
15	145	3,4
16	150	23,2
17	200	16,2
18	250	-16,8
19	300	-27,8
20	360	9,8

1. Х айнымалының мәніне байланысты қалдықтар графигін салыңыз және шешімдер жасаңыз.

2. Гетероскедастиканы анықтау үшін Гольдфельд – Квандт тестін қолданыңыз.

3. Жалпыланған ең кіші квадраттар әдісін пайдаланып, модельді жақсартыңыз.

Шешуі. Қалдықтар графигі мынадай болады:

Әртүрлі х-тің мәндерінде қалдықтар тербелесі бірдей еместігін графигі көрсетеді: егер х<90 болса, онда e>0; ал егер х (90;200) аралықта жатса, онда e>0. Егер х>200 үлкен болса, е-нің өзгеру аралығы, х-тің кіші мәндеріне қарағанда, одан да көп. Сонымен, график арқылы қалдықтардың гетероскедастикалықтың барын болжауға болады.

3. Гольдфельд-Квандт тестін қолдану үшін у жөнінде ақпараттар қажет. Бұл ақпараттар берілмесе де, оларды табуға болады. Регрессия теңдеуі негізінде есептеуші мәндерін табамыз. Енді фактілік мәндерін табамыз.

		e
30	34	-12,0	22
36	36,7	-11,7	25
40	38,4	-5,4	33
45	40,6	-5,6	35
50	42,8	-2,8	40
60	47,2	0,8	48
70	51,6	-1,6	50
80	56	-4,0	52
85	58,2	-6,2	52
90	60,4	6,6	67
92	61,3	13,7	75
100	64,8	12,2	77
120	73,6	4,4	78
130	78	4,0	82
145	84,6	3,4	88
150	86,8	23,2	110
200	108,8	16,2	125
250	130,8	-16,8	114
300	152,8	-27,8	125
360	179,2	9,8	189

Орталық С бақылауларды кестеден шығарайық.. Жиынтықты екі бөлікке бөлеміз: а) бір бөлігінде х мәндері орта мәндерінен төмен; б) екінші бөлігінде – х мәндері орта мәндерінен жоғары. С=4 болсын, бұл бақылаулар мынадай реттік нөмірлерімен: 9,10,11,12. Онда әр бөлікте 8 бақылаулардан қалады. Әр бөліктін регрессия теңдеуін табамыз. Бірінші бөлігін қарастырамыз және оған есептеуші кестені құрамыз.

№
1	30	22	660	-21,375	456,8906	-16,125	260,0156
2	36	25	900	-15,375	236,3906	-13,125	172,2656
3	40	33	1320	-11,375	129,3906	-5,125	26,26563
4	45	35	1575	-6,375	40,64063	-3,125	9,765625
5	50	40	2000	-1,375	1,890625	1,875	3,515625
6	60	48	2880	8,625	74,39063	9,875	97,51563
7	70	50	3500	18,625	346,8906	11,875	141,0156
8	80	52	4160	28,625	819,3906	13,875	192,5156
Σ	411	305	16995		2105,875		902,875

Қажетті мәндерін табамыз:

, , ,

, ,

Онда

,

Сонда, мынадай теңдеуді аламыз

Ұқсас екінші бөлігіне кесте құрамыз:

№
1	120	78	9360	-86,875	7547,266	-35,875	1287,016
2	130	82	10660	-76,875	5909,766	-31,875	1016,016
3	145	88	12760	-61,875	3828,516	-25,875	669,5156
4	150	110	16500	-56,875	3234,766	-3,875	15,01563
5	200	125	25000	-6,875	47,26563	11,125	123,7656
6	250	114	28500	43,125	1859,766	0,125	0,015625
7	300	125	37500	93,125	8672,266	11,125	123,7656
8	360	189	68040	153,125	23447,27	75,125	5643,766
Σ	1655	911	208320		54546,88		8878,875

Қажетті мәндерін табамыз:

, , ,

, ,

Онда

, .

Сонда, мынадай теңдеуді аламыз .

Енді әр топқа: у-тін теоретикалық мәндерін, қалдықтар е-ні және оның квадраттарын е² анықтаймыз.

		топ арқылы	етоп арқылы	е2топ арқылы
30	22	24,66967	-2,66967	7,12716
36	25	28,44661	-3,44661	11,8791
40	33	30,96456	2,035437	4,143002
45	35	34,11201	0,887992	0,78853
50	40	37,25945	2,740547	7,510599
60	48	43,55434	4,445658	19,76387
70	50	49,84923	0,150769	0,022731
80	52	56,14412	-4,14412	17,17374
				Σ=68,40874

Ұқсас

		топ арқылы	етоп арқылы	е2топ арқылы
120	78	82,24961	-4,24961	18,05921
130	82	85,88995	-3,88995	15,13168
145	88	91,35044	-3,35044	11,22547
150	110	93,17061	16,82939	283,2284
200	125	111,3723	13,62773	185,715
250	114	129,5739	-15,5739	242,5474
300	125	147,7756	-22,7756	518,7277
360	189	169,6176	19,38241	375,6779
				Σ=1650,313

Енді қалдықтар квадраттарының ең үлкен соммасының кіші соммасына қатынасын табамыз:

5% маңыздылық деңгейінде және дәреже еркіндік санында 8-2=6 (өйткені әр топта 8 элементтен бар) осы шаманы (Ғ фактолықты) Ғ-критериінің кестелік мәнімен салыстырамыз: . Сонымен Ғ_факт>Ғ_криз, бұдан мына қорытындыға келеміз: қалдықтардың гетероскедастикалығы бар. Қалдықтардың гетероскедастикалығын төмендету үшін жалпылаған ең кіші квадраттар әдісін қолдануға болады. Ол үшін есептеуші кесте құрамыз.

№	x	y	y/x	1/x
1	30	22	0,733333	0,033333
2	36	25	0,694444	0,027778
3	40	33	0,825	0,025
4	45	35	0,777778	0,022222
5	50	40	0,8	0,02
6	60	48	0,8	0,016667
7	70	50	0,714286	0,014286
8	80	52	0,65	0,0125
9	85	52	0,611765	0,011765
10	90	67	0,744444	0,011111
11	92	75	0,815217	0,01087
12	100	77	0,77	0,01
13	120	78	0,65	0,008333
14	130	82	0,630769	0,007692
15	145	88	0,606897	0,006897
16	150	110	0,733333	0,006667
17	200	125	0,625	0,005
18	250	114	0,456	0,004
19	300	125	0,416667	0,003333
20	360	189	0,525	0,002778
Σ	2433	1487	13,57993	0,260231

Нормалдық теңдеулер жүйесі мынадай болады:

Онда болады:

Теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шығарыңыз. Онда болады:

,

Онда , .

Осыдан шыққан теңдеуінде гетероскедастикалылық жойылған.