3. Множення вектора на скаляр. Властивості.

Нехай заданий деякий вектор та дійсне число .

Означення 8. Добутком вектора на число називають такий вектор , який задовольняє наступні умови:

1) довжина цього вектора ,

2) , якщо та , якщо .

При згідно з пунктом 1) означення , тому результатом множення довільного вектора на 0 є нульовий вектор . Добуток вектора на число записують у вигляді .

Множення вектора на число має ряд властивостей. Виділимо серед них наступні:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (асоціативність множення відносно числових множників та );

6) (дистрибутивність множення відносно числового множника);

7) (дистрибутивність множення відносно векторного множника).

Доведення властивостей 1) – 4) очевидне.

Для доведення властивості 5) доцільно розглянути випадки:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) одне з чисел l i t або обидва ці числа дорівнюють нулю.

У випадку а), оскільки , то . Враховуючи те, що , дістаємо, що . Отже, . Очевидно, що , тобто вектори та однаково напрямлені. Рівність їхніх довжин випливає із рівності

.

Таким чином, згідно з означенням рівності векторів, властивість 5) у випадку а) доведена.

Випадки б), в) та г) розглядаються аналогічно.

У випадку д) рівність 5) виконується, оскільки обидві її частини є нульовими векторами.

В ластивість 6) випливає із подібності трикутників та (див. рис. 8 при та рис. 9 при ). При доведення властивості 6) очевидне.

Для доведення властивості 7) потрібно розглянути випадки, коли числа та l одного знаку (обидва додатні або від’ємні ) або різних знаків.

Нехай та . Тоді і . Вектори та протилежно напрямлені, а також .

Тому

.

Вектор має напрям вектора , тобто спів напрямлений з вектором . Отже, в обох частинах рівності 7) маємо однаково напрямлені вектори однакової довжини, тобто ці вектори рівні.

Аналогічно розглядається випадок та випадок, коли . Якщо одне із чисел t або l рівне нулю, або вони обидва дорівнюють нулю, то рівність 7) очевидна.

Зауважимо, що якщо , то вектор одиничний і однаково напрямлений із вектором . Справді, .

Якщо задані два ненульові вектори та , то вектори та матимуть однакові довжини . Тоді вектор + задає напрям бісектриси кута, утвореного векторами та , оскільки він матиме напрям діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , який є ромбом.

4. Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Нехай точка є точкою перетину медіан та (рис. 10). Тоді

,

де – діагональ паралелограма . Оскільки точка – середина відрізків та , то . За відомою властивістю медіан трикутника , тому . Отже, .

Навпаки, нехай виконується рівність , тобто . Тоді , де – середина відрізка . З рівності випливає, що точки та лежать на одній прямій, а також, що – медіана трикутника . Оскільки , то точка є точкою перетину медіан.

Задача 2. У п’ятикутнику ABCDE точки K, L, M, N – середини відповідно сторін AB, BC, CD та DE, а точки R і S – середини відрізків KM та LN. Довести, що та (рис. 11).

Доведення. Введемо позначення:

.

Т

оді

.

Знайдемо вектор .

Рис. 11

.

Оскільки

та

,

то

.

Із одержаної векторної рівності випливає, що та .

Задача 3. В опуклому чотирикутнику точки та – відповідно середини сторін і . Довести, що якщо , то .

Доведення. Очевидно, що

та

.

Додавши одержані рівності, дістаємо , звідки . Але за умовою . Рівність можлива тільки тоді, коли вектори та однаково напрямлені, тобто, коли відрізки та паралельні. Отже, .

Задача 4. Що можна сказати про два ненульові вектори та , для яких виконується одна із рівностей:

1) ,

2) ,

3) ?

Розв’язання. Розглянемо різні випадки.

1). Вектори та співпадають із діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та . Оскільки, згідно із умовою задачі, довжини цих діагоналей рівні, то паралелограм є прямокутником. Отже, вектори та перпендикулярні.

2), 3). Із нерівності трикутника випливає, що вектори та колінеарні. Рівність 2) можлива тільки у випадку, коли дані вектори однаково напрямлені. Рівність 3) виконується при умові, коли вектори напрямлені протилежно, причому довжина вектора більша або дорівнює довжині вектора .