Лекція 3. Загальна афінна та прямокутна декартова системи координат. Координати точки. Поділ відрізка у даному відношенні

План

1. Поняття загальної афінної системи координат. Координати точки.

2. Прямокутна декартова системи координат. Відстань між двома точками.

3. Поділ відрізка у даному відношенні.

4. Теорема Чеви.

5. Приклади.

1. Поняття загальної афінної системи координат. Координати точки.

Розглянемо на площині деяку точку та відкладемо від неї вектори довільного базису . Тепер для довільної точки площини можна побудувати вектор (так званий радіус-вектор точки ), який розкладається за базисними векторами. Нехай . Числа та у розкладі вектора називають координатами точки (відповідно абсцисою та ординатою) та записують .

Розклад єдиний, оскільки координати вектора відносно зафіксованого базису визначаються однозначно. Тому координати кожної точки відносно вибраної системи координат теж визначаються єдиним способом.

Трійку елементів називають загальною афінною системою координат на площині. Точку називають початком координат цієї системи. Прямі, які проходять через початок координат паралельно до векторів та , називають координатними осями – осями абсцис та ординат відповідно. На даних осях (їх часто позначають та ) за допомогою стрілки показують додатний напрям, який відповідає напрямку відповідного базисного вектора, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Таким чином, довжини базисних векторів стають одиницями вимірювання на кожній із осей (рис.1). Після позначень масштабних о диниць на координатних осях, базисні вектори, як правило, не зображають.

Аналогічно, як і у випадку площини, вводиться поняття загальної афінної системи координат у тримірному просторі. Для цього довільно вибирають точку (початок координат) та через неї проводять три прямі (координатні осі), які паралельні векторам деякого базису . На даних осях (їх часто позначають , та називають осями абсцис, ординат та аплікат) стрілками вказують додатні напрямки, які відповідають напрямкам відповідних базисних векторів, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Одержуємо загальну афінну систему координат у тримірному просторі (рис.2). Тепер для довільної точки простору, побудувавши її радіус – вектор та розклавши його за базисними векторами, дістаємо (зауважимо, що такий розклад єдиний).

Числа та називають координатами точки (абсцисою, ординатою та аплікатою відповідно) та записують .

2. Прямокутна декартова системи координат. Відстань між двома точками.

Якщо базис ортонормований, то систему координат, яка визначається точкою (початком координат) та базисом називають прямокутною декартовою системою координат у просторі. Нехай у такій системі задані дві точки та . Знайдемо співвідношення, яке виражає відстань між цими точками. Оскільки координати точок співпадають з координатами їхніх радіус-векторів, то , . Тому

.

Знайшовши довжину вектора , яка дорівнює шуканій довжині відрізка , дістаємо формулу відстані між двома точками:

.

У випадку площини, коли система координат визначається точкою (початком координат) та базисом , її називають прямокутною декартовою системою координат на площині. Оскільки у цьому випадку точки та вектори визначаються двома координатами: , , то формула відстані між двома точками набуває вигляду

.