Динамические процессы в системах
Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат ДУ.
Большинство объектов являются нестационарными (их коэффициенты изменяются с течением времени, например, изменение теплопроводности, старение катализатора и др.), однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты можно при расчете систем регулирования приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени.
Далее будут рассматриваться линейные стационарные объекты (системы) с сосредоточенными координатами, которые описываются ОДУ с постоянными коэффициентами:
(2)
Уравнение (2) описывает поведение объекта, который имеет статическую характеристику y = (b0/a0).x в переходном режиме при любой форме входного сигнала x(t).
Частные случаи уравнения (2):
Для объектов, описываемых уравнением (2а), статическая характеристика существует, но является вырожденной, т.к. b0 = 0. Для объектов, описываемых уравнением (2б), статическая характеристика не существует.
Объекты, имеющие статическую характеристику, называют статическими, а не имеющие статической характеристики, называются астатическими.
Поскольку при линеаризации нелинейных уравнений при помощи ряда Тейлора получают линеаризованные уравнения в отклонениях, то в большинстве случаев ДУ (2) является уравнением в отклонениях, которое описывает объект или систему только в окрестности установившегося режима. Для получения решения уравнения (2) надо задать начальные условия, т.е. состояние процесса в момент времени t = 0:
Общее решение уравнения (2)
(3)
где yсв(t) – общее решение однородного уравнения;
yвын(t) – частное решение неоднородного уравнения (2).
Следовательно, yсв(t) соответствует движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) = 0, т.е. собственному свободному движению системы, и определяется свойствами самой системы, которые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения (ХУ). Если эти корни различны, то
,
где λi – корни ХУ;
ci – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Частное решение yвын(t) зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению (состоянию) системы.
Решение (3) уравнения (2) определяет динамический процесс в системе, происходящий с момента подачи входного воздействия, который принят за начало отсчета времени, поэтому движение системы (переходный процесс) рассматривается только при t ≥ 0 , для t < 0 он принят тождественно равным 0.
Выходной сигнал y(t), получающийся в течение такого процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, поэтому определение этого сигнала является основной задачей теории управления. Здесь становится актуальной идея изучения динамических свойств системы с помощью временных характеристик.