Временные характеристики

Важной характеристикой систем (звеньев) являются переходные и импульсные переходные функции и их графики – временные характеристики. Их используют при описании как стационарных, так и нестационарных линейных систем.

1) Переходная функция

Переходной функцией системы (звена) h(t) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях (т.е. предполагается, что до начала воздействия система находится в состоянии динамического равновесия).

График переходной функции – кривая зависимости функции h(t) от времени t – называют переходной характеристикой или кривой разгона.

а) ступенчатое воздействие; б) кривая разгона

Переходная характеристика химического реактора

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного ДУ (2) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза САУ исследуемым объектом.

2) Импульсная переходная функция (весовая функция или функция веса)

Импульсной переходной функцией системы (звена) w(t) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие δ(t) при нулевых начальных условиях.

График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.

а) δ-функция; б) весовая функция

Импульсная переходная характеристика химического реактора

Весовую функцию можно получить и как решение ДУ

Между переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие

Для вычисления весовой функции можно использовать обратное преобразование Лапласа передаточной функции, т.е.

w(t) = L^-1(W(s))

Переходная и весовая функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии. Поэтому технические требования к выходной величине системы (звена) можно выразить через соответствующие требования к ПФ этой системы (звена).

В ТАУ метод исследования и проектирования систем с помощью ПФ является одним из основных методов.

Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используется в ТАУ, является специальный метод прикладного анализа – операционный метод – в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию x(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

(4)

где x(t) – оригинал функции;

x(s) – изображение по Лапласу функции x(t);

s – комплексная переменная, s = α + iω .

Формула (4) определяет прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа позволяет по изображению найти оригинал.

где c – абсцисса сходимости функции x(s).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями (изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в таблице).

Таблица преобразования Лапласа

Если функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (4).

Пример. Требуется найти преобразование Лапласа от функции x(t) = e^-at

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов, и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

Свойства преобразования Лапласа

1) Теорема линейности: для любых действительных или комплексных

постоянных A и B линейной комбинации оригиналов соответствует такая же комбинация изображений:

Ax₁(t) + Bx₂(t) → Ax₁(s) + Bx₂(s) ,

где x₁(t) →x₁(s); x₂(t) →x₂(s).

2) Теорема подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число λ:

3) Теорема затухания: умножение оригинала на функцию e^at , где a – любое действительное или комплексное число, влечет за собой “смещение” независимой переменной s:

e^at x(t)→ x(s – a)

4) Теорема запаздывания: для любого постоянного τ > 0

x(t – τ) → e^-sτx(s)

5) Теорема дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение x(s, r), то

6) Теорема дифференцирования оригинала:

если x(t)→x(s), то x^’(t) →sx(s) – x(0) ,

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию x(0).

Если x(0) = 0, то x^’(t) → sx(s). Применив теорему необходимое количество раз, получают

x⁽ⁿ⁾(t) → sⁿx(s) – s^n-1x(0) – s^n-2x^’(0) – . . . – x^(n-1)(0)

Если x(0) = x^’(0) = . . . = x^(n-1)(0) = 0, то x⁽ⁿ⁾(t) → sⁿx(s)

т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на sⁿ .

7) Теорема интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s :

8) Теорема дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (-t) :

-tx(t) → x’(s)

9) Теорема интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до ∞ соответствует деление оригинала на t, т.е.

если интеграл сходится, то

10) Теорема умножения изображения: если x(t) → x(s) , y(t) → y(s) ,

то свертке функций соответствует произведение изображений xy → x(s)y(s)

11) Теорема умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений

, где γ = Re z

12) Теорема о конечном и начальном значениях функции:

lim x(t) = lim sx(s) lim x(t) = lim sx(s)

t→∞ s→0 t→0 s→∞

Одним из важнейших применений операционного исчисления –преобразования Лапласа – является решение ДУ с постоянными коэффициентами, которыми описываются САУ. Решение ДУ складывается из следующих этапов:

1) преобразование уравнения по Лапласу;

2) отыскание решения в области комплексного переменного s ;

3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.