2. Означення комплексних чисел.

Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширені множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1) означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2) для нових чисел повинні виконуватися п’ять законів прямих арифметичних дій (пригадайте ці закони);

3) у новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння х² = -1, бо в цій множині має виконуватися дія, обернена до піднесення до степеня.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння х² = -1 мало розв’язок, необхідно вести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння.

Ми з вами зіткнулися з такою проблемою при розв’язанні квадратних рівнянь в випадку, коли Д<0. Відповідь – рівняння немає коренів, а правильніше сказати немає дійсних коренів.

Наприклад: Розв’язати рівняння Х²+Х+5=0.

Д = 1-20 = -19 < 0

Відповідь – рівняння немає дійсних коренів.

Число, квадрат якого дорівнює -1, позначається буквою і та називають уявною одиницею (і - перша буква латинського слова imaginarius - уявний). Підкреслимо, що рівність і² = -1 приймається за означенням і не доводиться.

Найбільший подив викликає рівність і² = -1, бо добре відомо, що квадрат числа не може бути від’ємним! На це зауваження, звісно можна сказати: квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, але чому ця властивість дійсних чисел повинна бути справедливою і на більш широкій множині комплексних чисел. Не дивуємося ж ми, що а² = 2, а – раціональне число, але а = √2 - ірраціональне.

Отже, і – перше число на множині комплексних чисел. Множину комплексних чисел позначають літерою С.

Вирази а + bі, де а, b – будь-які дійсні числа, як приклад 2 + (-3)і;

1-√3і, називають алгебраїчною формою запису комплексного числа. Слово «комплексний» означає складений.

Якщо Z – комплексне число, то Z = а + bі. Дійсні числа а та b називаються дійсною та уявною частинами числа z відповідно і позначаються так:

а = ReZ, b = ImZ.

Наприклад: Z = 6 + 7і, тоді дійсна частина числа ReZ=6, а уявна ImZ=7.

Розглянемо два комплексних числа z₁ = a + bi, z₂ = c + di.

Два комплексні числа z₁ та z₂ називаються рівними, тоді і тільки тоді, коли а=с і b=d, тобто, коли рівні їх дійсні та уявні частини.

Це означення може бути застосоване при розв’язані вправ такого типу.

Наприклад: встановити при яких дійсних значеннях х і у рівні слідуючі комплексні числа z₁=х²+хуі-5+і та z₂ =хі-у²+уі.

Запишемо дані числа в стандартному вигляді:

z₁=х²-5+(ху+1)і та z₂ =-у²+(х+у)і.

Re z₁=х²-5, Re z₂ =-у²; Im z₁=ху+1, Im z₂ = х+у.

Отже, розв’язуючи систему, що складається з двох рівнянь:

х²-5=-у² та ху+1= х+у ми одержимо значення х і у.

Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють, тому не можна сказати, наприклад, яке з чисел більше 10і чи 3і, 2+5і чи 5+2і.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа. Числа а + bі та

а - bі, дійсні частини яких рівні, а уявні рівні за модулем та протилежні за знаком, називають спряженими.

Наприклад: Числа 8 + 5і та 8 - 5і.