Случай 2 (рис. 13)

Пусть теперь показатель преломления слева от сферической поверхности больше, чем показатель преломления справа от нее.

Рассмотрим, как на поверхности преломляется луч SB, идущий из точки S, которая сама находится в среде с показателем преломления n>1 (луч, таким образом, выходит из этой среды в точке B). Если продолжить преломленный луч влево от точки B, то точка его пересечения с прямой SO дает мнимое изображение S. Мнимое потому, что реального пересечения лучей там нет. Наблюдателю же справа видимое расстояние f до источника будет казаться меньше, чем реальное d. Найдем, как связаны f и d.

В о-первых, формулы имеют место и в этом случае. Далее, т.к. угол i – внешний по отношению к треугольнику SBO, то

i = +  h/d + h/R.

Аналогично, для треугольника SBO

r =  + 

Вычитаем r из i:

i – r =  –   h/d – h/f.

Но r  ni, поэтому i – r = (1 – n)i, что с учетом и дает

, или .

С лучай 3 (рис. 14)

Рассмотрим ту же ситуацию, что и в предыдущем случае, только с источником света S, находящимся справа от поверхности. Продлевая преломленный луч AB вправо, мы снова получаем мнимое изображение Sна расстоянии f от поверхности. При этом снова остаются справедливыми выражения .

Угол  является внешним по отношению к треугольникам OBS и OBS. Значит,

= i + и  = r + ,

откуда следует, что

i = –  = h/R – h/d,

i – r = –  = h/f – h/d.

По закону преломления r  i/n, т.е. i – r = (1 – 1/n)i. Приравнивая это к и подставляя i из , получим

, или .

Вывод формулы тонкой линзы

Линзами называются прозрачные для данного излучения тела, ограниченные двумя сферическими поверхностями. Одна поверхность может быть плоскостью, т.е. сферой бесконечно большого радиуса.

Ось, походящая через центры образующих линзу поверхностей, называется оптической осью. Линза называется собирающей, если она преломляет проходящие через нее лучи в сторону оптической оси, и рассеивающей, если она отклоняет лучи от оптической оси.

Собирающая линза

Определим положение изображения по известному положению источника для собирающей линзы, имеющей две выпуклые сферические поверхности (рис.15). Лучи, исходящие от точечного источника S, находящегося на оптической оси, после прохождения через первую поверхность, соберутся в одной точке S₁ на расстоянии f₁ от поверхности. Это расстояние найдем, воспользовавшись формулой :

.

Пройдя точку S₁, лучи расходятся, попадая на вторую поверхность. Точка S₁ служит, таким образом, источником, расположенным на расстоянии d₁ от поверхности. Вторая поверхность дает изображение S₂ источника S₁ на расстоянии f от этой поверхности. Положение изображения можно найти по формуле

,

где R₂ – радиус второй сферической поверхности. При выводе формулы мы воспользовались принципом обратимости световых лучей.

Сложим уравнения и :

.

Это выражение справедливо для линзы любой толщины l = d₁ + f₁. Рассмотрим случай, когда толщина линзы мала по сравнению с радиусами её кривизны: l 0. Такую линзу называют тонкой. Стало быть, вторым слагаемым в можно пренебречь, и мы получаем формулу тонкой линзы (собирающей):

.

При удалении источника в бесконечность (d  ) изображение окажется в точке, расстояние до которой определится выражением

.

Эту точку называют фокусом линзы. Расстояние от линзы до фокуса F называют фокусным расстоянием.

Величину D = 1/F, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы и измеряют в диоптриях (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает линза с фокусным расстоянием в 1 м.

Через фокусное расстояние формулу тонкой линзы можно записать так:

.

Рассеивающая линза (рис.16)

Расстояние S₁A между мнимым изображением S₁ источника света S и первой сферической поверхностью радиуса R₁ определяется из формулы :

.

Р ассматривая S₁ в качестве нового источника, его мнимое изображение S₂ находится из :

.

Умножая уравнение на n, складывая с и учитывая условие тонкой линзы AB  0, получим формулу тонкой рассеивающей линзы:

.

При удалении источника в бесконечность (d  ) мнимое изображение окажется в фокусе, расстояние F до которого удовлетворяет уравнению .