8.2. Випадкові процеси. Основні поняття. Деякі класи процесів

В багатьох реальних системах виникає потреба враховувати вплив випадкових факторів, що є функціями часу. Випадкові процеси (випадкові функції) – це випадкові величини, що залежать від параметрів (дискретних або неперервних). До випадкових процесів може бути віднесена велика кількість виробничих процесів, а також процесів, що зустрічаються в економіці, фінансах, страхуванні.

Нехай задано ймовірнісний простір і деяка множина . Функція , де , , називається випадковою функцією або випадковим процесом, якщо при кожному фіксованому є випадковою величиною, що визначена на ймовірнісному просторі .

Якщо – вимірний простір і випадковий процес приймає значення із X, тобто, , то називають фазовим простором. Найбільш важливим є випадок X=R, тоді процес називають числовим або дійснозначним (одновимірним). Якщо X= , то процес називають векторним (багатовимірним).

Що стосується параметра , то у випадку , частіше розглядається як час, а називають випадковим процесом, якщо ж пробігає лише цілочислові значення, то випадковою послідовністю або часовим рядом. Якщо значеннями є точки деякого векторного простору, то називають випадковим полем.

Якщо ми зафіксуємо , то називається перерізом випадкового процесу в точці . При фіксованому , що розглядається як функція часу, називається реалізацією випадкового процесу або вибірковою функцією (траєкторією, якщо розглядається як час).

Основними характеристиками випадкового процесу є його скінченновимірні розподіли. Нехай . Функція є функцією розподілу випадкового процесу, але вона не дає повної ймовірнісної характеристики випадкового процесу, бо не враховує залежності між випадковими величинами при різних . У зв’язку із цим для випадкового процесу вводяться скінченновимірні функції розподілу випадкового процесу.

Для будь-якого натурального і будь-яких , де , функція називається скінченновимірною функцією розподілу випадкового процесу. На скінченновимірні функції розподілу накладають наступні умови узгодженості:

,

,

де – довільна перестановка індексів .

Відзначимо, що за відомою теоремою Колмогорова для кожного набору скінченновимірних функцій розподілу, для яких виконуються умови узгодженості, існує випадкова функція із заданою множиною скінченновимірних функцій розподілу.

Для характеристики випадкового процесу вживаються також моментні функції. Величина називається ною моментною функцією випадкового процесу. Найбільш важливими моментними функціями є середнє значення та кореляційна функція випадкового процесу

.

Існує великий клас випадкових процесів, у якому використовуються лише ці дві функції.

Для випадкового процесу вводять сукупні характеристичні функції

.

Розглянемо деякі типи випадкових процесів, всі скінченновимірні розподіли яких визначаються одновимірними розподілами значень і двовимірними розподілами пар .

1) Якщо для довільних величини – незалежні, то випадковий процес називається процесом із незалежними значеннями.

2) Якщо для будь-яких величини – незалежні, то випадковий процес називається процесом із незалежними приростами.

Покажемо, що процес із незалежними приростами повністю характеризується двовимірними скінченними розподілами. Для довільних розглянемо сумісну характеристичну функцію вектора

.

Оскільки

,

то

.

Ввівши позначення і , одержимо

.

Тобто, сумісна характеристична функція виражається через функції і , а це означає, що для визначення скінченновимірних розподілів процесу із незалежними приростами досить знати одновимірні розподіли процесу і розподіли приростів процесу, що визначаються двовимірними розподілами.

3) Процес називається гауссівським, якщо всі багатовимірні розподіли випадкових векторів є нормальними. Так як нормальний розподіл однозначно визначається своїми першим і другим моментами, то для задання гауссівського процесу достатньо вказати значення функцій і , де має бути невід’ємно визначеним ядром.

4) Важливим класом процесів є марковські процеси. Розглянемо моменти часу . Якщо поведінка процесу в момент часу не залежить від , а залежить лише від значень в момент часу , то такий процес називаться марковським.

5) Випадковий процес називається стаціонарним, якщо для будь-яких і розподіл випадкового вектора не залежить від . Для багатьох задач, що пов’язані із такими процесами, досить знати лише значення перших двох моментів і , тобто моменти і не залежать від . Такі процеси називають стаціонарними в широкому розумінні.

Вправи.

3. Нехай – випадкова величина з функцією розподілу . Знайти всі скінченновимірні розподіли випадкового процесу , .

4. Нехай і – незалежні випадкові величини, що мають однаковий нормальний розподіл з і . Знайти всі скінченновимірні розподіли випадкового процесу , .