8.4. Вінерівський процес

Неперервний однорідний процес з незалежними приростами такий, що при має нормальний розподіл, називається процесом броунівського руху. Якщо ~ , то називають коефіцієнтом переносу, – коефіцієнтом дифузії.

Якщо ж і ~ , то процес називається вінерівським процесом.

Вінерівський процес є математичною моделлю явища руху мікроскопічних частинок в рідині або газі під дією молекул середовища, що знаходяться в тепловому хаотичному русі. Якщо середовище однорідне, то рух частинки із кожної точки в будь-який момент буде однаковим в ймовірнісному розумінні, тобто не залежить від . Очевидно також, що траєкторія частинки є неперервною функцією .

Розглянемо дискретну модель броунівського руху, в якій частинка змінює своє положення стрибками в фіксовані моменти часу. Позначимо через положення частинки в момент часу , . Будемо вважати, що частинка змінює своє положення тільки в моменти кратні , а величина стрибка дорівнює . Якщо в момент часу частинка знаходиться в точці , то в момент з рівними ймовірностями вона може перейти в точки і . Визначений таким чином процес буде однорідним із незалежними приростами. Неперервну модель броунівського руху одержуємо в результаті граничного переходу при і . Положення частинки в момент часу

,

де доданки в правій частині є незалежними випадковими величинами і розподіли і однакові.

Тому

.

Дисперсія задовольняє функціональному рівнянню , а такому рівнянню задовольняє єдина лінійна функція. Оскільки , то

,

де стала називається коефіцієнтом дифузії. Позначимо через випадкову величину, яка приймає значення з ймовірностями . Тоді , . За час частинка зробить стрибків, тому має і дисперсію . Оскільки , то . Тоді за центральною граничною теоремою величина при і так, що залишається сталим, буде збігатися за розподілом до випадкової величини із стандартним нормальним розподілом. Величину будемо розглядати як неперервну модель броунівського руху.

Отже, процес броунівського руху є вінерівським процесом.

Позначимо через – момент 1-го досягнення процесом точки , тобто це мінімальний момент часу , для якого .

Розглянемо подію . Це означає, що точка до моменту часу побувала в положенні . Тоді з однаковими ймовірностями вона може виявитись як праворуч цієї точки, так і ліворуч. Тому

є функцією розподілу випадкової величини . Ми використали, що ~ . Щільність розподілу випадкової величини має вигляд

.

Розглянемо випадковий процес – максимальний досягнутий рівень за проміжок часу . Тоді . Отже,

.

8.5. Стаціонарні процеси

Серед випадкових процесів важливе місце займають процеси, ймовірнісні характеристики яких не змінюються із часом.

Процес називається стаціонарним, якщо для будь-яких , , сумісний розподіл випадкового вектора не залежить від .

Для будь-якої функції – неперервної і обмеженої в не залежить від .

Зокрема, якщо для процесу існують скінченні моменти другого порядку, то і не залежать від , а залежить тільки від .

В тих задачах, де використовуються тільки моменти першого і другого порядків, умову стаціонарності можна послабити, замінивши її умовами, що відносяться тільки до моментів перших двох порядків. При вивченні стаціонарних процесів частіше розглядають процеси із значеннями в множині комплексних чисел, тобто при кожному фіксованому є комплекснозначна випадкова величина. Випадкова величина буде комплекснозначною, якщо її можна представити у вигляді , де і – дійсні випадкові величини. Тоді , , .

Випадковий процес називається стаціонарним у широкому розумінні (слабо стаціонарним), якщо і , а

,

де є неперервною функцією від .

Функцію називають кореляційною функцією процесу . Її можна подати у вигляді . Відзначимо, що .

Процес називається неперервним в середньоквадратичному, якщо

.

Якщо процес неперервний в середньоквадратичному, то його кореляційна функція є неперервною.

За нерівністю Коші-Буняковського

.

Отже, кореляційна функція є неперервною.

Розглянемо приклад стаціонарного процесу із дискретним спектром. Нехай випадкові величини – комплекснозначні, мають , , не корельовані, тобто , , . На основі цих випадкових величин побудуємо випадковий процес

,

де . Покажемо, що такий процес є стаціонарним в широкому розумінні. Дійсно, – не залежить від , а

.

Кореляційна функція процесу залежить тільки від . Отже, процес є стаціонарним у широкому розумінні і його кореляційна функція задається формулою

.

Цю формулу називають спектральним зображенням кореляційної функції. Вона визначає спектр стаціонарного випадкового процесу – сукупність частот гармонійних коливань, складових процесу. Величину називають середнім значенням потужності гармонійної складової процесу з частотою , а називають потужністю стаціонарного процесу.

Функція

називається спектральною функцією стаціонарного процесу. За допомогою спектральної функції кореляційна функція процесу може бути записана у вигляді

.

Виявляється, що поняття спектральної функції і зображення кореляційної функції за допомогою попередньої формули можна узагальнити на довільні випадкові процеси. Наведемо без доведення теорему.

Теорема (Хінчіна). Для того, щоб функція була кореляційною функцією неперервного в середньоквадратичному стаціонарного в широкому розумінні випадкового процесу, необхідно і досить, щоб вона допускала зображення .

Якщо функція – абсолютно неперервна, тобто , то функцію називають спектральною щільністю випадкового процесу. В цьому випадку

.

Якщо – абсолютно інтегровна, то існує спектральна щільність і справедлива рівність

.

Вправи.

6. Нехай – випадкова величина, що має нормальний розподіл з математичним сподіванням і дисперсією , – дійсне число. Знайти кореляційну функцію процесу , .

7. Знайти спектральну функцію випадкового процесу , кореляційна функція якого дорівнює , , , .