Практическое занятие №5

Тема: Вычисление вероятности для функции от ДСВ и вывод ее распределения

Цель: формирование навыков вычисления вероятности для функции от ДСВ и вывод ее распределения

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, то есть .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;l]: .

2. Функция распределения есть неубывающая функция: , если .

Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: .

Следствие 2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например , равна нулю: .

3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу , то F(x) = 0 при ; F(x) = 1 при . Теоретические исследования показали, что в большом числе встречающихся на практике случаев с достаточным основанием можно считать, что случайные величины распределены по нормальному закону. Дифференциальная функция нормального распределения:

,

где - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал находят по формуле

.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения « » меньше , равна: .

Примеры

Задача 1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале .

Решение: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале: .

Положив , получим

.

Задача 2. Заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X. Требуется найти:

а) вероятность того, что X примет значения, принадлежащие интервалу (1; 4);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «X -а» окажется меньше .

Решение: а) воспользуемся формулой .

По условию задачи . Следовательно,

.

По таблице приложения 2: .

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (1;4) равна:

.

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» меньше , равна ;

.

Ответ: а) ;

б) .

Задания для самостоятельной работы

1. Случайная величина X задана функцией распределения

.

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

2. Заданы математическое ожидание, а=10 и среднее квадратическое отклонение =4 нормально распределенной случайной величины X. Требуется найти: а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , где =8, =20; б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х- а» окажется меньше =8.

3. Случайная величина X задана функцией распределения

.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	3	4	7	10
	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.