Питання для контролю вивченого матеріалу

1. У чому полягає матричний спосіб розв’язування системи лінійних рівнянь з невідомими?

2. Які перетворення системи лінійних рівнянь називаються елементарними?

3. У чому полягає метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь з невідомими?

Література

3. Назієв е.Х., Владіміров в.М., Миронець о.А. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. – к.: Лебідь, 1997. – 151 с.

4. Соколенко о.І. Вища математика. – к.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 431с.

Тема 3: Розв’язування довільних лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі. Системи однорідних лінійних рівнянь.

1. Довільні системи лінійних рівнянь.

2. Теорема Кронекера-Капеллі.

3. Однорідні системи лінійних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими

(1)

Числа , які будемо вважати дійсними, називаються коефіцієнтами системи. Вони утворюють матрицю

, (2)

яка містить рядків та стовпців. ЇЇ називають матрицею системи. Число рівнянь може бути більше, менше або дорівнювати числу невідомих . Система (11.1) називається однорідною, якщо вільні члени дорівнюють нулю.

Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих , яка при підстановці її рівняння системи перетворює всі рівняння системи на тотожності.

Система, яка має хоча б один розв’язок, називається сумісною; система , яка не має жодного розв’язку – несумісною.

Система з єдиним розв’язком називається визначеною, а з більш ніж одним – невизначеною.

Матриця

, (3)

яка утворюється з матриці додаванням стовпця вільних членів, називається розширеною.

Теорема Кронекера-Капеллі: Для того, щоб система (11.1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював рангу розширеної матриці , тобто .

Розглянемо систему лінійних однорідних рівнянь з невідомими

(4)

Така система завжди сумісна, оскільки розв’язком її буде , що називається тривіальним.

Теорема: Системи лінійних однорідних рівнянь (4) має нульові розв’язки тоді

й тільки тоді, коли ранг матриці системи менший ніж .

Приклад. Знайти множину розв’язків системи

° У разі однорідної системи досить виписати матрицю її коефіцієнтів. Оскільки вільні члени дорівнюють нулю. Виконуючи над нею елементарні перетворення, дістанемо

Як бачимо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих і тому система має тільки нульовий розв’язок. •

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Яка система лінійних рівнянь називається сумісною? Визначеною? Невизначеною?

2. Сформулюйте теорему Кронекера - Капеллі.

3. Скільки розв’язків має сумісна система, ранг матриці якої дорівнює числу невідомих? Менший числа невідомих?

4. Яка система лінійних рівнянь називається однорідною? Що можна сказати про сумісність однорідної системи?

5. Коли однорідна система має тільки нульовий розв’язок, нульові розв’язки?

6. Коли система лінійних рівнянь з невідомими має нульові розв’язки?

Література

1. Назієв Е.Х., Владіміров В.М., Миронець О.А. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. – К: Либідь, 1997. - 151 с.

2. Соколенко О.І. Вища математика. – К.: Академія, 2002. – 431 с.