Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Що таке система координат?

2. Що таке прямокутна декартова система координат у просторі?

3. Запишіть формулу, за якою знаходиться відстань між двома точками.

4. Що таке вектор, як він позначається й зображується? Що називається довжиною вектора? Який вектор називається нульовим?

5. Які вектори називаються рівними? Визначити операції додавання векторів і множення вектора на число.

6. Які вектори називаються колінеарними?

7. Які вектори називаються компланарними?

8. Що таке базис системи векторів?

9. Вектори і утворюють кут , причому . Знайти .

10. Визначити при яких значеннях і вектори колінеарні.

Література

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука, 1990.-576с.

2. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник.- К.:Видавничий центр “Академія”, 2002.- 432с.

3. Назієв Е.Х. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник.- К.: Либідь, 1997.- 152с.

4. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. пособие для техникумов.- М.: Высш. шк.,1991.-480с.: ил.

5. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навч. посібник.- К.: Вища школа, 1991.- 407с.: іл.

Тема 2: Скалярний добуток векторів.

1. Означення скалярного добутку векторів.

2. Фізичний зміст скалярного добутку.

3. Властивості скалярного добутку векторів.

Короткі теоретичні відомості

Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, яке позначатимемо символом :

(1)

Поняття скалярного добутку з’явилося у механіці. Якщо точка під дією постійної сили здійснює прямолінійне переміщення , вектор якого утворює кут з напрямом сили , то робота , яка виконується при цьому силою , , тобто робота постійної сили на прямолінійній ділянці шляху дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

Скалярний добуток векторів характеризується такими властивостями:

• переставною ;

• сполучною відносно числового множника ;

• розподільною властивістю скалярного множення на векторний множник ;

• , якщо >0, і , якщо .

Теорема. Вектори і взаємно перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їхніх однойменних координат: . (2)

Так як , то . (3)

Приклад. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , знайти довжину вектора .

▲ Довжину вектора можна знайти за формулою . Користуючись властивостями скалярного добутку, знаходимо .

Оскільки , то , звідки .▼

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Сформулюйте означення скалярного добутку векторів. Який його фізичний зміст? Які властивості він має?

2. Як виражається скалярний добуток через координати?

3. Сформулюйте умову взаємної перпендикулярності двох векторів? Як виразиться ця умова в координатній формі?

4. Запишіть формулу, за якою обчислюється кут між двома векторами.

5. Визначити при якому значенні вектори і взаємно перпендикулярні.