Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

контрольная теоретическая мезаника.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

5. Примеры решения задач

Задача 1.

К одному из узлов плоской фермы приложена сила . Определить реакции опор фермы и усилия во всех её стержнях.

Дано:

P = 8 кН

Решение

1) Определение реакций опор. Внешние силы, приложенные к ферме: , и ; их линии действия должны пересекаться в одной точке (D). Треугольник сил , , подобен треугольнику ADО. Получаем:

R_A, R_B, S_i, 1 ≤ i ≤ 10

, где , , .

R_B = 16 кН; = 17.88 кН.

2) Определение усилий в стержнях. На каждый узел фермы действуют реакции сходящихся в нём стержней. Эти реакции равны усилиям в стержнях. Рассмотрим равновесия сил, приложенных к узлам, выбирая узлы такой последовательности, чтобы число неизвестных сил в узле не превышало двух. Пусть все стержни растянуты. Отрицательные значения найденных реакций показывают, что соответствующие стержни сжаты. Рассматривая равновесие узлa B получаем, что .

Узел D: ; = –16 кН.

; =22.63 кН

Узел O: ; = -16 кН.

; .

Узел C: ; = 11.31 кН.

; = -8 кН.

Узел A: ; = 11.31 кН.

; = 8 кН.

Узел K: ; = –8 кН.

; . =-8 кН

Данные расчёта в таблице:

Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Знак усилия	+	+	–		-	+	–	-	+	+
Усилие, кН	16	22,63	16	0	16	11,31	8	8	8	11,31

Задача 2.

Найти реакции опор конструкции.

Дано:

G = 10 кН

P = 6 кН

M = 8 кН∙м

α = 45^○

Решение

Рассмотрим равновесную систему сил, приложенных к балке. Заменим связи их реакциями: шарнирно-неподвижную опору A заменим силами X_A, Y_A, нить C заменим силой P, стержневую опору DB заменим силой R_B, приложенной в точке D. Составляем уравнения равновесия:

; . (1)

X_A, Y_A, R_B – ?

; . (2)

; . (3)

(1) = 1,72 кН.

(2) = 1,22 кН.

(3) = 2,78 кН

Задача 3.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую горизонтальную плиту весом G, при действии на неё вдоль AB силы .

Дано: G = 20 кН; P = 25 кН; a = 4 м; b = 5 м; c = 3 м; d = 1,5 м.

Найти: S_i – ? 1≤ i ≤6.

Решение

Рассмотрим равновесную систему сил, действующих на плиту. Пусть все стержни растянуты, их реакции , , , , , направлены от углов. Введём углы α, β, γ, θ. Составляем 6 уравнений равновесия:

; ; (1)

; ; (2)

; ; (3)

; ; (4)

; ; (5)

; . (6)

Найдём синусы и косинусы углов:

; ; ; ;

; ; ; .

(2) = 42,69 кН;

(3) = 32,46 кН;

(1) = –29,47 кН;

(5) = –37,85 кН;

(4) = 39,36 кН;

(6) = 25,68 кН.

Задача 4. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры

Решение

Разобьём площадь фигуры отрезками LC, KM, SH, GQ по пять прямоугольников. Координаты центра тяжести будем искать по формулам:

; . (1)

Для фигуры 1 получаем:

F₁ = 4 ∙ 2 = 8 см²; x₁ = 8 – 2/2 = 7 см; y₁ = 10 – 4/2 = 8 см.

Для фигуры 2:

F₂ = 2 ∙ 6 = 12 см²; x₂ = 6/2 = 3 см; y₂ = 10 – 2/2 = 9 см.

Для фигуры 3:

F₃ = 2 ∙ 8 = 16 см²; x₃ = 2/2 = 1 см; y₃ = 8/2 = 4 см.

Для фигуры 4:

F₄ = 10 ∙ 2 = 20 см²; x₄ = 2 + 10/2 = 7 см; y₄ = 2/2 = 1 см.

Для фигуры 5:

F₅ = 4 ∙ 2 = 8 см²; x₅ = 12 – 2/2 = 11 см; y₅ = 4/2 = 2 см.

Составляем таблицу:

Номер элемента	F_i, см²	x_i, см	y_i, см	S_ix = F_ix_i, см³	S_iy = F_iy_i, см³
1	8	7	8	56	64
2	12	3	9	36	108
3	16	1	4	16	64
4	20	7	1	140	20
5	8	11	2	88	16
Σ	64	–	–	336	272

По формулам (1) вычисляем координаты центра тяжести плоской фигуры:

= 5,25 см; = 4,25 см.

Задача 5.

По заданным уравнениям движения точки M установить вид её траектории и для момента времени t = t₁ найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Дано:

(1)

t₁ = 1 c

Решение

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки M. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда:

v, w, w_τ, w_n, R – ?

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

(см/с); (см/с).

Модуль скорости точки

Аналогично проекции ускорения точки

(см/с²); (см/с²).

Модуль ускорения точки

= 8 см/с².

Координаты точки, её скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для момента времени t = 1 с приведены в таблице.

Координаты, см		Скорость, см/с			Ускорение, см/с²					Радиус кривизны, см
x	y	v_x	v_y	v	w_x	w_y	w	w_τ	w_n	R
–3	–3	–8	–3	8,54	–8	0	8	7,49	2,81	28,71

Касательное ускорение равно:

;

При t = 1 с

= 7,49 см/с².

Нормальное ускорение точки:

= 2,84 см/с².

Радиус кривизны траектории в данной точке:

= 28,71 см/с².

Полученные значения w_τ, w_n и R также приведены в таблице.

Задача 6.

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, вращательное и центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен S.

Решение

1) Найдём момент времени T, когда путь S, пройденный грузом равен 40 см:

(с)

Скорость груза равна: см/с

2) Угловая скорость звена 2: с^-1.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес:

с^-1.

Угловое ускорение 4 с^-2 – .

Скорость точки M: , и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3) Вращательное ускорение точки M: = 60 м/с² и направлено в сторону вращения колеса перпендикулярно радиусу колеса.

Центростремительное ускорение точки M: м/с².

Полное ускорение: .

Значения этих величин для момента времени приведены в таблице:

ω₃, с^-1	ε₃, с^-2	v, см/с	Ускорение, см/с²
			a_τ	a_n	a
4	4	60	60	240	247,38

Задача 7.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C.

Дано:

OA = 25 см

АВ = 80 см

АС = 20 см

= 1 с^-1

= 2 с^-2

Решение

1. Определение скоростей точек.

Найдём скорость точки A: = 25 см/с.

, .

Мгновенный центр скоростей находится в точке , потому что она находится в точке пересечения перпендикуляров, проведённых из точек A и B к их скоростям. Угловая скорость звена AB:

= 0,625 (с^-1).

, ,

, – ?

Скорости точек B и C:

86,6 (см/с).

= 106,8 (см/с).

2. Определение ускорений точек.

Ускорение точки складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

= 50 см/с²; = 25 см/с².

По теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

или

где = 50 (см/с²).

Строим многоугольник ускорений. Относительно координатных осей получаем

Отсюда получаем: = 8,3 (см/с²);

0,195 (с^-2).

Аналогично для точки C:

или

где = 12,5 (см/с²).

= 3,9 (см/с²).

Значения этих величин для времени сведены в таблице

ω₃, с^-1	ε₃, с^-2	v, см/с	Ускорение, см/с²
			w^в	w^ц	w
4	4	60	60	240	247,38

Задача 8.

Камень скользит в течение τ с по участку AB откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения камня f. Со скоростью AB и через T_C ударяется в т. C о вертикальную стенку.

Дано:	Решение Для ускоренно движущегося по плоскости AB тела характерно: ; (1) . (2)
α = 15^○; L = 3 м
v_B = 3 м/с; f = 0
τ = 1,5 с; d = 2 м
v_A, h – ?

Делим (1) на (2) и получаем:

= 4 – 3 = 1 м/с.

Для падающего с начальной скоростью v_B тела под углом к горизонту характерно:

; (3)

. (4)

(4) – (3) .

Получаем:

= 0,48 + 2,18 = 2,66 м

Задача 9.

Найти уравнение движения тела M массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы при заданных начальных условиях.

Дано:	Решение Дифференциальное уравнение движения точки M (второй закон Ньютона): . Решим это дифференциальное уравнение. Так как , то

m = 0,1 кг
z₀ = 200 м
= 0,1 м/с
z(t) – ?

;

Так как , то

Постоянные интегрирования найдём из начальных условий:

;

Окончательно получаем

Задача 10.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая скольжение тела A, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, определить скорость тела A в момент, когда пройденный им путь станет равным S.