3. Интегрирование дробно-рациональных функций

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

Пусть - дробно-рациональная функция, где и - многочлены соответственно степеней и .

Если , то, разделив многочлен на , представим дробно-рациональную функцию в виде:

, (3.1)

где - многочлены степеней и , причем . Дробь называется правильной рациональной дробью.

Так как произвольный многочлен интегрируется по формуле (1.15), то интегрирование дробно-рациональных функций сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение неприводимых множителей только первой и второй степени, причем в случае кратных корней эти множители могут в разложении присутствовать в степени выше первой. В алгебре доказывается важная теорема: всякая правильная рациональная дробь разлагается единственным образом в сумму конечного числа простейших дробей вида:

, , (3.2)

причем, если, например, - -кратный корень знаменателя , то в разложении соответствующая этому корню сумма записывается в виде:

. (3.3)

Аналогично, если в разложении знаменателя неприводимый квадратный трехчлен входит в степени , то соответствующий этому трехчлену сумма имеет вид:

(3.4)

Для определения коэффициентов разложения приводят сумму к общему знаменателю и тождественно приравнивают полученный числитель данному числителю . Получается система линейных уравнений с неизвестными коэффициентами и отличным от нуля определителем. По правилу Крамера находят все коэффициенты разложения.

Пример. Разложить на простейшие дроби правильную рациональную дробь

. (3.5)

1) Разлагаем на неприводимые множители знаменатель :

. (3.6)

2) Записываем разложение данной рациональной дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами:

. (3.7)

3) Приводим правую часть к общему знаменателю:

. (3.8)

4) Приравнивая тождественно числители, получим:

, , . (3.9)

5) Решаем систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

, , , . (3.10)

6) Записываем разложение (3.7) с найденными значениями коэффициентов:

. (3.11)

Следовательно, интегрирование дробно-рациональных функций сводится к интегрированию полиномов и простейших рациональных дробей (3.2). Имеем:

1) , (3.12)

2) , , (3.13)

3) .

Положим , . Тогда

.

Следовательно,

. (3.14)

4)

,

где интеграл

(3.15)

вычисляется по рекуррентной формуле:

. (3.16)

Действительно,

.

Обозначим: ,  ,

.

Следовательно,

,

,

т.е. справедлива формула (3.16).

Рассмотрим несколько примеров.

№1.

.

Здесь мы воспользовались формулой (3.11) разложения подынтегральной функции на простейшие дроби.

№2. .

1) Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Следовательно,

, , .

Решая эту систему, находим:

т.е.

.

2) Осуществляем интегрирование:

=

.

№3. .

1) Разлагаем знаменатель подынтегральной функции на неприводимые множители:

2) Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби:

= =

Приравнивая тождественно числитель многочлену

и решая полученную систему линейных уравнений, находим:

, , , , , .

Следовательно,

= ;

.