Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).
Разделим отрезок
интегрирования
на четное число отрезков
.
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции
заменим на площадь криволинейной
трапеции, ограниченной параболой второй
степени с осью симметрии, параллельной
оси Оу и проходящей через точки
кривой, со значениями
,
,
.
Для каждой пары отрезков построим такую
параболу.
0
х
Уравнения этих парабол
имеют вид
,
где коэффициенты
могут быть легко найдены по трем точкам
пересечения параболы с исходной кривой.
(6.1)
Обозначим
.
.
Если принять
,
то
(6.2)
Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид:
C учетом
этого:
.
Отсюда уравнение (6.2)
примет вид:
.
Тогда
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
.
Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив
отрезок интегрирования на 10 частей. По
формуле Симпсона получим:
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
f(x) |
2.828 |
3.873 |
4 |
4.123 |
4.899 |
6.557 |
8.944 |
11.874 |
15.232 |
18.947 |
22.978 |
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
Формула
трапеций дала менее точный результат
по сравнению с формулой Симпсона.
Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл
.
Так как интегрирование производится в
окрестности точки
,
то можно воспользоваться для разложения
подынтегральной функции формулой
Маклорена.
Разложение
функции
имеет вид:
.
Зная разложение
функции
легко найти функцию
:
.
Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение:
.
Теперь представим наш интеграл в виде:
.
Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической
точки зрения для применения этой теоремы
надо доказать, что ряд сходится равномерно
на отрезке интегрирования
.
Таким образом
Получаем:
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.
Более точное значение этого интеграла: 0,2482725418…