А) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. а) Общими элементами этих множеств являются числа:
12, 13, 14, 15.
б) Все элементы двух этих множеств – числа не меньше 10 и не больше 21, т.е.:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
▲П р и м е р 4. Из 30 детей каждый поёт или танцует. Известно, что петь умеют 17 детей, а танцевать умеют 19 детей. Сколько детей умеют и петь, и танцевать?
Р е ш е н и е.
Сначала заметим, что из 30 детей не умеют петь 30 – 17, т.е. 13 детей.
Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый из детей поёт или танцует. Танцевать умеют всего 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, умеют и танцевать, и петь 19 – 13, т.е. 6 человек. Такой же ответ можно получить иначе: 17 – 11 (от числа детей, умеющих петь, надо вычесть число детей, не умеющих танцевать).
Ответ: 6.
На рис. 5 зеленым овалом показано множество детей, которые умеют танцевать, а красным овалом – множество детей, которые умеют петь. Пересечением этих овалов изображается множество детей, которые умеют и петь, и танцевать, – их всего 6.▲
Т 30 – 17 = 13 19 – 13 = 6 30 – 19 = 11 П Т и П
Рис. 5
▲ П р и м е р 5. В классе 15 учащихся посещают кружок по математике, 12 учащихся – кружок по английскому языку, 5 учащихся – и по математике, и по английскому языку. Сколько учащихся в классе, если каждый из них посещает, либо один кружок, либо два кружка?
Р е ш е н и е. Сначала заметим, что из 15 учащихся, которые посещают кружок по математике, 5 учащихся посещают еще кружок по английскому языку, значит 15 – 5, т.е. 10 учащихся посещают только один кружок по математике.
Так же можно определить количество учащихся, которые посещают факультатив только по английскому языку: 12 – 5, т.е. 7 учащихся. Число всех учащихся в классе: 10 + 7 + 5, т.е. 22 человека.
Ответ: 22.
На рис. 6 зеленым овалом показано множество учащихся, которые посещают кружок по математике, а красным овалом – множество учащихся, которые посещают кружок по английскому языку. ▲
М 15 – 5 = 10 5 12 – 5 = 7 А М и А
Рис. 6
Вопросы.
1. Приведите пример множества, состоящего:
а) из трех элементов; б) из семи элементов.
2. Какое множество называют пустым? Приведите пример пустого множества.
3. Приведите пример двух множеств, которые:
а) имеют один общий элемент; б) три общих элемента;
в) не имеют общих элементов.
Перечислите все элементы этих множеств.
Упражнения
1. Назовите элементы, принадлежащие множеству всех однозначных чисел и элементы, не принадлежащие данному множеству.
2. Назовите элементы, принадлежащие множеству съедобных грибов и элементы, не принадлежащие данному множеству.
3. Заданы: множество букв слова ГРУША и множество букв слова ШАРИК. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Заданы: множество, состоящее из всех однозначных чисел, которые делятся на 2, и множество, состоящее из всех однозначных чисел, которые делятся на 3. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
На фирме работают 66 человек. Из них 43 знают французский язык, 35 – немецкий язык. Сколько сотрудников фирмы знают оба языка?
Из 40 пятиклассников 32 любят молоко, 21 – лимонад. Сколько пятиклассников любят и молоко, и лимонад?
7. В классе 12 учащихся любят читать детективы, 18 – фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в классе?
8. В классе всего 25 учащихся, каждый из них любит смотреть или комедии, или мультфильмы, или и то и другое. Из тех 18 учащихся, которые любят смотреть комедии, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько человек в классе любят смотреть только «мультики»?
9. Из 29 мальчишек, живущих в одном доме, только двое не занимаются спортом, а остальные посещают или футбольную, или теннисную секции, или обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом – 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
10. В классе всего 25 учащихся. Из них 7 любят груши, 11 – апельсины. Двое любят груши и апельсины; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и апельсины. Но есть в классе два ученика, которые любят и груши, и яблоки, и апельсины и четверо таких, что не любят никакие из этих фруктов. Сколько учащихся этого класса любят яблоки?
После изучения материала главы 4 «Делимость натуральных чисел» по теме «Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств» можно решать следующие упражнения.
П р и м е р 1. Задано множество всех делителей числа 16 и множество всех делителей числа 30. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. Множество всех делителей числа 16:
1, 2, 4, 8, 16.
Множество всех делителей числа 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
а) Общими элементами этих множеств являются числа: 1, 2.
б) Все элементы двух этих множеств – числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 30.
П р и м е р 2. Задано множество двузначных кратных числа 18 и множество двузначных кратных числа 24. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. Множество двузначных кратных числа 18:
18, 36, 54, 72, 90.
Множество двузначных кратных числа 24:
24, 48, 72, 96.
а) Общим элементом этих множеств является число: 72.
б) Все элементы двух этих множеств – числа 18, 24, 36, 48, 54, 72, 90, 96.