5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

5.1.Параллельность прямой и плоскости

Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки.

Признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Задача. Через точку М провести прямую l, параллельную плоскости  (a b) и П₁ (рис.33).

Алгоритм решения

1. Т.к. искомая прямая l должна быть параллельна П₁, в плоскости  (a b) проводим произвольную горизонталь h: сначала h₂ x₁₂, а затем h₁ по точкам 1 и 2: 1₁ h₁ 2₁

2. Через проекции точки М проводим l₂ h₂ и l₁ h₁.

Задача решена: прямая l  (a b), т.к. она параллельна h, лежащей в плоскости, и l П₁, т.к. l₂ x₁₂.

5.2.Параллельность плоскостей

Определение: плоскости являются параллельными, если не имеют общей точки.

Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Задача. Через точку М провести плоскость , параллельную плоскости  (a b) (рис.34).

Алгоритм решения

1. В заданной плоскости нет пересекающихся прямых, поэтому проводим в ней дополнительную прямую с ,пересекающую прямые, задающие плоскость  (a b).

2. Искомую плоскость  задаём двумя пересекающимися прямыми m a и l с, проведенными через точку М.

5.3.Пересечение прямой и плоскости

5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения

Задача. Построить точку К пересечения прямой l с проецирующей плоскостью  (рис.35).

Алгоритм решения

Точка К общая для прямой и плоскости. Из условия принадлежности её плоскости  горизонтальная проекция К₁ должна располагаться на вырожденной проекции плоскости ₁. Из условия принадлежности её прямой l проекции точки должны лежать на проекциях прямой. Следовательно, К₁ лежит в точке пересечения ₁ и l₁: l₁ К₁ ₁ . Фронтальная проекция К₂ находится по принадлежности прямой l : К₂  l₂.

Видимость прямой на П₂ определяем «по представлению»: рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П₂ и видим, что при взгляде на П₂ часть прямой правее точки К располагается за плоскостью  и является невидимой.

5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения

Задача. Построить линию пересечения m двух плоскостей, одна из которых - проецирующая (рис.36).

Алгоритм решения

1. Линия пересечения принадлежит фронтально проецирующей плоскости, следовательно, фронтальная проекция линии совпадает с вырожденной проекцией плоскости: m₂ = ₂ .

2. Линия пересечения m принадлежит плоскости треугольника АВС, следовательно, она пересекает стороны треугольника АВ и АС в точках 1 и 2. Построив горизонтальные проекции этих точек по принадлежности сторонам треугольника и соединив их, получаем горизонтальную проекцию искомой линии пересечения m₁ .

3. Видимость треугольника на П₁ определяем так же , как и в предыдущей задаче, «по представлению»: рассматриваем фронтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П₁ и видим, что при взгляде сверху часть треугольника (А12) располагается ниже плоскости  и является невидимой.