Методи синтезу вільних від розподілу алгоритмів виявлення сигналів

Для побудови непараметричного алгоритму виявлення сигналу можна виходити із задачі перевірки гіпотези Н₀ про рівномірність розподілу величин , що отримуються перетворенням (6.2). Ці величини відповідають рангам сигнальних вибіркових значень х_і, відносно відліків завади y₁,…,y_m.

Дійсно, розглянемо об’єднану вибірку х_і, y₁…y_m, побудуємо варіаційний ряд і визначимо місце відліку х_і в ньому, тобто обчислимо його ранг R_i. Нехай R_i = k, де k – ціле число з інтервалу 1, m+1. Це означає, що y_(k1) < x_i < y_ck, тобто,

(6.4)

Ця формула вказую на однозначний зв’язок між рангом сигнального відліку x_i у варіаційному ряді, утвореному з відліків завади y₁,…,y_m і сигнального відліку x_i, та значенням функції

Один з методів синтезу розв’язувальних правил перевірки гіпотези Н₀ базується на використанні критеріїв узгодження емпіричного розподілу випадкових величин r_i, з дискретно рівномірним розподілом m на інтервалі (0,1). Найширше використовуються критерії узгодження Колмогорова, Смирнова, Мізеса та ².

Критерії узгодження Колмогорова і Смирнова

Згідно з критерієм Колмогорова мірою різниці емпіричного і гіпотетичного розподілів служить статистика F₁(x)

(6.5)

Для синтезу відповідного алгоритму треба побудувати варіаційний ряд з відлі-

ків сигнальної вибірки – x₍₁₎,…,x_(n) і обчислити значеня статистики (6.5), враховуючи вираз (6.4), та порівняти з порогом, отримаємо:

(6.6)

де R_(i) – ранг і-ї порядкової статистики Х_(i) відносно вибірки завади. Гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо нерівність вірна.

Статистика (6.6) еквівалентна статистиці

(6.7)

що застосовується для перевірки гіпотези Н₀ при двосторонній альтернативі:

H₄: F_1x(z)  F_1y(z).

Синтезований алгоритм (6.7) можна реалізувати як пристрій згідно рис. 6.1.

Рис. 6.1. Структура виявляча сигналу, яка реалізує алгоритм Колмогорова: ОР  обчислювач рангів

Розрахунок порогу прийняття рішення вимагає знати розподіл ймовірностей статистики (6.6). У роботі 3 вирішена ця задача для асимптотичного підходу, коли n, m, та отримана формула визначеня порогу для заданого значення ІХТ :

Перевірка гіпотези Н₀ при односторонній альтернативі : F_1x(z) < F_1y(z), яка означає, що випадкова величина Х стохастично більша за випадкову величину Y, використовується односторонній критерій Смірнова

. (6.8)

Тобто структура виявляча Смірнова (6.8) відрізняється від структури виявляча Колмогорова (6.8) відсутністю блоків обчислення модуля різниці рівномірного і емпіричного розподілів.

Критерій Вілкоксона

Інший двовибірковий критерій запропоновано Вілкоксоном, за яким обчислюється сума рангів відліків сигнальної вибірки x₁,…,x_n відносно вибірки завад y₁,…,y_m

(6.9)

де ранг відліку х_і відносно вибірки y₁,…,y_m обчислюється за формулами:

. (6.1 0 )(6.10)

В   показано, що при n+m  20, m > 3, розподіл статистики (6.9) можна вважати гаусівським з параметрами

,

Правило перевірки гіпотези Н₀ про належність вибірки одноковому розподілу за критерієм Вілкоксона формулюється так: при двосторонній альтернативі

Н₄: F_1x(z)  F_1y(z)

гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо при заданому рівні ймовірності хибної тривоги  виконується нерівність

()

де  квантиль рівня 1 /2 нормованого гаусівського розподілу.

У разі односторонній альтернативи гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо при заданому рівні ймовірність хибної тривоги

де  квантиль рівня 1  нормованого гаусівського розподілу.

Структурна схема виявляча Вілкоксона, зображена на рис.6.3.

Рис. 6.3. Структурна схема виявляча сигналу, яка реалізує двосторонній кри

терій Вілкоксона

Односторонній алгоритм Вілкоксона відрізняється від двостороннього відсутністю блоків обчислення різниці й обчислення модуля.

З урахуванням виразу для обчислення рангу (6.10) реалізація алгоритму Вілкоксона може бути спрощена шляхом заміни блоків упорядкування вибірок (порядкових фільтрів) блоками пам’яті вибірок.

Алгоритми Колмогорова, Смирнова, Вілкоксона забезпечують незалежність ІХТ від форми закону розподілу завад, але мають різну ефективність при різних альтернативах. Так, алгоритм Колмогорова буде більш ефективним у ситуаціях, коли наявність сигналу викликає зміну параметра масштабу, тобто потужності суміші. Алгоритм Вілкоксона забезпечує більшу ефективність у задачах, коли наявність сигналу призводить до зміни параметра зсуву, тобто постійної складової суміші.