Критерій 2

Широко відомий критерій узгодження ² базується на статистиці

(6.11)

У процесі побудови цієї статистики область, де визначена гіпотетична функція розподілу F₁(x), розбивають на l інтервалів _і, , які між собою не перетинаються. Підраховують кількість _і ( ) значень вибірки x₁,…,x_n, які попали в кожний інтервал, а також апріорні ймовірності р_і попадання випадкової величини з розподілом F₁(x) в ці інтервали; ясно, що сума Якщо гіпотеза про належність вибірки x₁,…,x_n до розподілу F₁(x) правильна, то розподіл статистики (6.11) при n   асимптотично наближається до розподілу ² з l1 ступенем свободи, якщо не залежить від виду гіпотетичного розподілу F₁(x).

Для визначення порогу прийняття рішення у разі відхилення гіпотези при заданій імовірності хибної тривоги  знаходять за таблицею розподілу ²   значення квантиля рівня 1. Гіпотеза відхиляється (сигнал є), якщо

Зауважимо, що статистика (6.11) має недолік, пов’язаний з довільним розбиттям області визначення гіпотетичного розподілу на інтервали.

Критерій ² у більшості випадків застосовується для перевірки простої гіпотези Н₀ про належність вибірки x₁,…,x_n розподілу F₁(x), вид і параметри якого повністю визначені. У цих випадках розподіл статистики критерію (6.11) не залежить від виду F₁(x) і описується розподілом ². Але зауважимо, що маємо ситуацію застосування вільної від розподілу процедури для перевірки параметричної простої гіпотези.

Якщо гіпотеза Н₀ складна, тобто відома функціональна форма F₁(x), а деякі (або всі) її параметри невідомі, то необхідно застосувати певні процедури оцінювання та використати ці оцінки для обчислення гіпотетичних ймовірностей р_і, і=1,…, l. Причому, кількість невідомих параметрів S має не перевищувати l1.

Внаслідок того, що гіпотетичні ймовірності будуть випадковими величинами – функціями від оцінок параметрів, розподіл статистики

(6.12)

не обов’язково буде мати ту ж форму, що й у випадку простої гіпотези Н₀. У роботі   показано, що у випадку використання для оцінки вектора параметрів оцінок, які максимізують функцію правдоподібності при апріорних значеннях  чисел попадання в і-ті інтервали,

статистика (6.12) буде мати асимптотичний розподіл ² з lS1 степенями вільності.

Оптимальний ранговий алгоритм виявлення шумовидного сигналу на виході лінійного детектора

Розглянемо дещо іншу схему спостережень, ніж в попередніх розділах. Нехай маємо сигнальну вибірку x₁,…, х_n і вибірку, яка належить заваді. Ця вибірка організована таким чином, що кожному сигнальному відліку x_і відповідає m відліків завади y_i1,…, y_im. У випадку відсутності сигналу m відліків, завади мають той самий розподіл ймовірностей, що й відлік x_і. Розподіли суміші при різних і (в різні моменти часу) не обов’язково співпадають. Таким чином, маємо матрицю спостережень

де перший елемент кожної строки є відліком сигналу, а інші m елементів утворюють відліки завади.

Така ситуація має місце в радіолокації, де сигнальні відліки утворюються шляхом зондування одного (сигнального) кільця дальності в і періодах зондування, а відліки завади y_i1,…, y_im утворюються шляхом зондування m прилеглих кілець дальності в тих самих і періодах зондування. Такі умови отримання відбитих сигналів дозволяють прийняти гіпотезу про однаковість розподілу відбитків в і-ий період зондування в сигнальному і шумових кільцях дальності.

Порівняємо кожний сигнальний відлік зі своєю незалежною шумовою вибіркою із m відліків і знайдемо ранги сигнальних відліків

де  функція одиничного стрибка; х_і, y_ij сигнальний, шумовий відліки.

Нехай з випадку нульової гіпотези (відсутність сигналу) ЩРІ сигнальної і шумової вибірок буде

f (x,0) = f (y).

При альтернативній гіпотезі (присутність сигналу) щільність розподілу в сигнальному кільці із сигнальним параметром b буде f (x,b)  f (y),

Для гіпотези імовірності появи рангів рівні, ранги незалежні

(6.12)

У випадку наявності сигналу, ранги також незалежні, тому що на кожний відлік сигналу припадає m незалежних шумових відліків, і приймають дискретні значення {0,…,m} з ймовірностями V_im (R_j, b), які вже не є однаковими для всіх значень і залежать від параметра b. Для перевірки гіпотези Н₀ про відсутність сигналу проти альтернативи Н₁ запишемо відношення правдоподібності:

(6.13)

де V_im (R_j, b) – імовірність того, що R_j = і;  індикатор стану х_j.

Прологарифмуємо вираз (6.13) із урахуванням формули (6.12):

Імовірності рангів V_im (R_j, b) обчислюється за формулою повної імовірності

де f(x, b) – щільність імовірності суміші сигналу і завади в околі точки Х; Fⁱ (x,0) – імовірність того, що і шумових відліків менше ніж х; 1 Fⁱ (x,0) ^m-i  імовірність того, що m-i шумових відліків більше ніж х; F (x,0) – інтегральна функція розподілу шумових відліків.

Таким чином, синтезований критерій визначається так:

(6.14)

6.4)

де  число комбінацій із m по i; V_p – визначається заданою імовірністю похибок першого роду  (імовірністю хибної тривоги). Якщо в (6.14) відкинути ті доданки, де _і = 0, то критерій можна записати у вигляді

7