1. Перестановка местами двух строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А ( В ~ A ).

Задание для самоконтроля:

Привести к ступенчатому виду матрицы: 1) 2) 3) .

Контрольные вопросы:

1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?

2. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?

3. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?

4. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?

5. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?

6. Могут ли совпадать матрицы А и А^Т?

7. Как выглядит матрица (А^Т)^Т?

8. Верно ли равенство (А + В)^Т = А^Т + В^Т?

9. Верно ли равенство (А + Е) (А – Е) = А² – Е?

10. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов?

11. Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой матрице?

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Любой квадратной матрице n–го порядка А = можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А, и обозначается так:

А = или |A| или detA.

Определитель 2-го порядка задается равенством: = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

Определитель 3-го порядка задается равенством:

= а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂.

Примеры.

1. Вычислить определитель 2-го порядка : = 1 4 – 2 3 = –2.

2. Решить уравнение = 0: (2х + 1)  2 – 3 (х + 5) = 4х + 2 – 3х – 15 = х – 13 = 0 => x = 13.

Пример.

Вычислить определитель 3-го порядка :

= 3 5 2 + 2 3 3 + 1 2 4 – 1 5 3 – 2 2 2 – 3 3 4 = 30 + 18 + 8 – 15 – 8 – 36 = 56 – 59 = –3 .

Задание для самоконтроля:

1. Вычислить определители 2-го порядка: 1) , 2) , 3) .

2. Решить уравнения: 1) = 0, 2) = 0.

Задание для самоконтроля:

Вычислить определители 3-го порядка: 1) , 2) , 3) .

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Правило «треугольников» (правило Саррюса) вычисления определителей 3-го порядка:

2. Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:

Аналогично можно разложить определитель любого порядка по любой строке (столбцу):

Дополнительным минором ( минором ) M_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после в ычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А называется произведение А_ij = (-1)^i+j M_ij.

Отсюда следует правило разложения определителя по элементам какой-нибудь строки (столбца): определитель равняется сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Задание для самоконтроля:

1. Вычислить определители 3-го порядка разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

1) , 2) , 3) .

2. Решить уравнение и неравенство: 1) = 0, 2) ≥ 0.

3. Вычислить определители 4-го порядка: 1) , 2) .