Обратная матрица. Матричные уравнения

Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица ( обозначается А^-1 ), что .

Если матрица А^-1 существует, то она единственна ( для матрицы А ).

Присоединенной матрицей к квадратной матрице А называется матрица Ã = ( A_ij )^T, полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений A_ij к элементам а_ij .

Вычисление обратной матрицы

Метод присоединенной матрицы:

А^-1 = Ã

Метод Гаусса (элементарных преобразований)

Приписываем справа к матрице А размера nxn единичную матрицу размера nxn: получим прямоугольную матрицу Г= ( А | E ) размера nxn. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала приведем ее к ступенчатому виду Г₁ = ( А₁ | В ), где матрица А₁ треугольная, а затем – к виду Г₂ = ( Е | А^-1 ), т.е. на месте единичной матрицы окажется обратная (к матрице А ) матрица А^-1.

Пример. Методом Гаусса найти матрицу, обратную к матрице А = .

Задание для самоконтроля: методом Гаусса найти матрицы, обратные к данным:

1) , 2) .

Контрольные вопросы:

1. Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая матрица В, что ВА = Е? (Да).

2. Верно ли что матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А? (Да).

Матричные уравнения

1. AX = B : умножаем обе части уравнения слева на А^-1 : А^-1AX = А^-1 В 

X = А^-1 В.

2. XA = B : умножаем обе части уравнения справа на А^-1 : X A А^-1 = В А^-1 

X = В А^-1.

3. AXС = B : умножаем обе части уравнения слева на А^-1 и справа на С ^-1:

А^-1A X С С ^–1 = А^-1 В  X = А^-1 В С ^–1.

Т.о., решение матричных уравнений сводится к нахождению обратных(ой) матриц(ы) к известным(ой) матрицам(е) в левой части уравнения и умножении их (ее) слева и/или справа на известную матрицу в правой части уравнения.

Примеры. Решить матричные уравнения: а) Х = , б) Х = .

Задание для самоконтроля. Решить матричные уравнения:

а) Х = , б) Х = , в) Х = .

Контрольные вопросы:

1. Равносильны ли уравнения:

а) АХ = В и Х = А^-1 В ? (Да, если |A| ≠ 0).

б) АХ = В и Х = В А^-1 ? (Нет).

в) АХ = В и Х = А В^-1 ? (Нет).

г) АХ = В и Х = В^-1 А ? (Нет).

Системы линейных уравнений основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида ,

где числа a_ij, i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, … , n называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_j .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме АХ = В

Здесь А = – матрица коэффициентов системы,

Х = – вектор-столбец неизвестных, В = – вектор-столбец свободных членов.

Произведение матриц АХ определено, т.к. в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х.

Расширенной матрицей системы А|В = называется матрица, дополненная столбцом свободных членов.

Решением системы называется n значений неизвестных х₁ = с₁, х₂ = с₂, … , х_n = с_n, при подстановке которых все уравнения системы превращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками ее расширенной матрицы.

Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной системы равен рангу

основной матрицы r(A) = r(A|B).