Ідентифікація системи одночасних рівнянь

Знаходження оцінок параметрів рівняння пов'язане з проблемою ідентифікації системи. Якщо для кожного рівняння системи одночасних структурних рівнянь виконується певна умова, то система називається

• точно ідентифікованою, якщо M - m_i = k_i – 1,

• надідентифікованою, якщо M - m_i > k_i – 1,

• неідентифікованою, якщо M - m_i < k_i – 1,

де М - загальна кількість екзогенних змінних моделі,

m_i - кількість екзогенних змінних і-ого рівняння,

k_i - кількість ендогених (залежних) змінних і-ого рівняння.

2. Модель «Попит - пропозиція»

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь використовується при моделюванні попиту-пропозиції в ринковій економіці. У цьому випадку в припущенні, що попит Q^D і пропозиція Q^S у момент часу t є лінійними функціями від ціни Р в один і той же момент часу, можна отримати наступну систему:

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + u_t1, α₁ < 0, (1₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (1₂)

Умова рівноваги: q_t^D = q_t ^S. (1₃)

Наявність випадкових відхилень у даних моделях пов'язана в першу чергу з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (доходу, цін супутніх товарів, смаків, очікувань, ціни ресурсів, податків тощо). Зміна одного із цих факторів може відобразитися на моделі. Наприклад, ріст доходу споживачів може зрушити криву попиту нагору. Це призведе до зміни рівноважної ціни й рівноважної кількості.

Модель (1) може бути вдосконалена. Наприклад, якщо до функції попиту додати дохід споживачів Y, то одержимо систему (2):

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + α₂ у_t + u_t1, α₁ < 0, (2₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (2₂)

Умова рівноваги: q^D = q^s. (2₃)

Модель формування доходів Кейнса

Найпростіша модель даного типу в припущенні, що розглядається закрита економіка без державних видатків, має вид :

Функція споживання: c_t = β₀ + β₁ у_t + u_t (З₁)

Макроекономічна тотожність: у_t = c_t + і_t (3₂)

Тут Y, С, I характеризують сукупний випуск, обсяги споживання та інвестицій відповідно (y_t, c_t, i_t - значення цих змінних у момент часу t).

Тема: Нелінійні моделі

1. Нелінійні регресії

Внаслідок багатогранності й складності за своєю структу­рою економічних процесів обмежуватися розглядом лише ліній­них моделей стає неможливим, оскільки економічні залежності переважно не можуть бути описані лінійними рівняннями. Якщо між економічними показниками існують нелінійні співвідношення, то вони описуються за допомогою нелінійних математичних функцій.

• Якщо досліджується залежність попиту на пев­ний товар Y від ціни X на нього, то можна обмежитися лінійними залежностями у вигляді рівнянь регресії Y_р = â₀ + â_1·Х, де коефіцієнт â₁ буде характеризувати абсолютну зміну в середньому попиті Y при зміні ціни на нього X на одиницю.

• Якщо ж метою дослідження є аналіз еластичності залеж­ності попиту від ціни, то описати лінійним рівнянням співвідношення між змінними Y та X виявляється неможливим. У цьому випадку доцільно використати модель типу Y = a₀ Х^а1

• При аналізі витрат Y від обсягу виробництва X буде використовуватися поліноміальна модель Y = â₀ + â_1·Х + â_2·Х ² + â_3·Х ³ +…+ â_m·Х^m .

• Для дослідження виробничих функцій використання лінійних моделей взагалі є нереальним. В цьому випадку використовується виробнича функція Кобба – Дугласа. Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили, тоді Y = a F^α L^β, 0 < α<1, 0< β<1.

• Для характеристики зв’язку витрат сировини із обсягом виробленої продукції, часу обігу товару від величини товарообігу використовується модель оберненої залежності

Y = â₀ + â₁/Х.

Розрізняють два класи нелінійних регресій:

1) нелінійні регресії 1-го класу (квазілінійні) – нелінійні щодо пояснюючих, незалежних змінних моделі, але лінійні відносно параметрів (коефіцієнтів) моделі

2) нелінійні регресії 2-го класу – нелінійні щодо параметрів (коефіцієнтів) моделі.