4 Аксонометрии пространственных объектов. Типовые задачи

Приёмы построения аксонометрических изображений пространственных объектов не зависят от типа аксонометрической проекции. Аксонометрическое изображение обычно строят на основе ортогональных проекций предмета. Поэтому следует по заданному комплексному чертежу представить форму предмета, выбрать тип аксонометрии (если он не определён заданием на графическую работу) и после этого приступить к построению аксонометрии.

При выборе типа аксонометрии следует руководствоваться следующими соображениями. Наглядность изображения на аксонометрических чертежах зависит от выбора направления проецирования. Изометрию рекомендуется применять в тех случаях, когда все видимые стороны детали равноценны для изображения. Диметрия лучше определяет форму предмета в том случае, когда наибольшая часть её элементов, характеризующих особенности формы, сосредоточена на одной из сторон; в этом случае указанную сторону располагают на аксонометрии параллельно фронтальной плоскости проекций. Для сравнения на рис. 26а представлена изометрия и на рис. 26б диметрия некоторой схематизированной детали.

а) б)

Рис. 26

На аксонометрических чертежах пространственных объектов для отображения внутренних элементов часто применяют разрезы, которые выполняют, как правило, координатными плоскостями, (или плоскостями, параллельными им). Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов (ромбов или параллелограммов), лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (рис. 27а для диметрии и рис. 27б для изометрии). При этом, в отличие от ортогональных проекций, спицы маховиков и шкивов, ребра жесткости и подобные элементы в аксонометрии штрихуют.

а) б)

Рис. 27

4.1 Многогранники

Как и на ортогональном чертеже, многогранник в аксонометрии задаётся проекциями его вершин (точек), которые затем соединяются отрезками прямых, образуя рёбра. На рис. 29 продемонстрировано поэтапное построение диметрии прямой шестигранной призмы (ортогональный чертёж – на рис. 28):

- связываем с призмой систему координат, начало координат выбираем в одной из характерных точек (в данном случае – в центре основания), рис. 28;

- строим аксонометрические оси и определяемся с коэффициентами искажения;

- в горизонтальной плоскости строим основание призмы (рис. 29а), правила такого построения изложены в параграфе 3.2, результат – в табл. 1;

- из вершин основания проводим направления боко-

Рис. 28 вых рёбер и откладываем на них отрезки, равные высоте призмы, - получаем вершины верхнего основания (рис. 29б);

- строим верхнее основание, соединяя полученные вершины (рис. 29в);

- обводим проекцию с учётом видимости (рис. 29г).

Другим вариантом построения может быть следующий: вначале строим верхнее и нижнее основания, а затем – боковые рёбра.

а) б) в) г)

Рис. 29

На рис. 30 представлены прямоугольные диметрии ещё нескольких призм с основаниями в плоскости П₁ , которые встречаются при выполнении расчётно-графических работ на кафедре. На рис. 31 изображены те же призмы с удалённой одной четвёртой частью.

Рис. 30

Рис. 31

Н а рис. 33 показано поэтапное построение аксонометрии шестигранной пирамиды, ортогональный чертёж которой – на рис. 32: определяем связанную с многогранником систему координат, строим аксонометрические оси, далее – нижнее (рис. 33а) и верхнее (рис. 33б) основания, соединяем соответствующие вершины оснований (получаем боковые рёбра, рис. 33в), обводим с учётом видимости (рис. 33г).

На рис. 34 представлены прямоугольные диметрии некоторых пирамид, которые встречаются при выполне- Рис. 32 нии графических работ на кафедре; основания пирамид лежат в горизонтальной плоскости проекций. На рис. 35 изображены те же пирамиды с удалённой одной четвёртой частью.

а) б) в) г)

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

На рис. 36 изображены прямоугольные изометрии четырёх призм с основаниями, параллельными фронтальной плоскости проекций П₂ (начало координат выбрано в точке за пределами тел). На рис. 37 – изометрии двух призм, основания которых параллельны профильной плоскости проекций П₃ (в том числе с удалённой одной четвёртой частью).

Рис. 36

Рис. 37

При выполнении и защите семестровых графических работ по теме «Многогранники» и в рабочей тетради предлагается ряд типовых задач.

Задача 4.1 Определение координат точки, лежащей на поверхности многогранника.

Д а н о: аксонометрическая проекция точки К, принадлежащей поверхности пирамиды (рис. 38а). О п р е д е л и т ь: координаты точки К (положение точки в заданной системе координат). На рис. 38 продемонстрированы этапы решения.

 Следует помнить, что точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности.

Для определения координат точки необходимо построить в аксонометрии координатную ломаную линию, для чего достаточно определить на чертеже положение одной из вторичных проекций точки. Алгоритм решения задачи:

- проводим на поверхности пирамиды (в её грани) через точку К любую дополнительную прямую линию (в данном случае параллельно ребру основания) и строим вторичную проекцию линии, для чего используется опорная точка 1, лежащая во фронтальной плоскости проекций, а значит, вторичная горизонтальная проекция точки принадлежит оси x (рис. 38б);

- проецируем точку К на плоскость П₁ – строим вторичную проекцию К', принадлежащую вторичной проекции линии (рис. 38в);

- строим ломаную координатную линию и определяем аксонометрические коор­динаты (рис. 38г);

- в зависимости от типа аксонометрической проекции и принятых коэффициентов искажения рассчитываем по формулам (1.3) декартовы координаты.

а) б) в) г)

Рис. 38

Задача 4.2 Построение сечения многогранника плоскостью.

Д а н о: аксонометрическая проекция пирамиды SABC, основание которой ABC принадлежит горизонтальной плоскости проекций (S' – вторичная проекция вершины пирамиды), и плоскость α (рис. 39а). П о с т р о и т ь: сечение пирамиды заданной плоскостью.

 Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершины которого определяются как точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.

Последовательность построений состоит в реализации на аксонометрическом чертеже определённых этапов (рис. 39):

- анализируем положение заданной плоскости α по отношению к плоскостям проекций; в нашем случае задана горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 8д), что облегчает построение точек пересечения рёбер многогранника с плоскостью;

- на горизонтальной проекции определяем точки пересечения вторичных проекций рёбер многогранника с секущей плоскостью (точки 1,2,3,4) и строим их на аксонометрических проекциях рёбер (рис. 39б), при этом аксонометрии точек 1 и 2 совпадают с их вторичными проекциями;

- соединяем попарно построенные точки, помня о том, что соединять можно только точки, лежащие на одной грани (рис. 39в).

а) б) в)

Рис. 39