Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 1:Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: .

Решение: Находим производную: .

Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: .

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, , то при функция имеет минимум: .

Ответ: Точка минимума имеет координаты .

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

y y

xx

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

y

x

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной впромежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение .

.

		2
	+	0	-
		точка перегиба 16

Ответ: Функция выпукла вверх при ;

функция выпукла вниз при ;

точка перегиба .

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции .

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение:

1. Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ : решим уравнение

.

с осью ОY:

3. Выясним, не является ли функция четной или нечет

ной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4. Функция непериодична.

5. Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max 2		т. min -2

6. Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

		0
	-	0	+
		точка перегиба 0

7. Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8. По результатам исследования построим график функции:

y

2

1. x

-2

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое критические точки функции?

2. Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

3. Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?

4. Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.

5. Сформулировать достаточное условие выпуклости функции. Приведите алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.