Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?

2. Дать определение первообразной функции

3. Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции ?

4. Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?

5. Дать определение неопределенного интеграла.

6. Перечислить свойства неопределенного интеграла

7. Дать определение определенного интеграла.

8. Перечислить свойства определенного интеграла.

9. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

10. В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?

24