5. Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат

Теорема 4. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов равно определителю, у которого первая строка состоит из координат первого вектора, вторая строка состоит из координат второго вектора, третья строка состоит из координат третьего вектора.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное произведение . Если мы этот вектор скалярно умножим на вектор , то получим искомую величину . Теорема доказана.

Отметим некоторые свойства смешанного произведения.

1) Если поменять местами 2 вектора тройки векторов, их смешанное произведения изменит знак.

2) Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, образующих этот параллелепипед.

3) Объем тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, образующих этот тетраэдр.

4) Смешанное произведение трех векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия – это наука, которая изучает геометрию с помощью формул, алгебраических преобразований и других математических методов анализа. Основой здесь является метод координат, уравнение линии на плоскости и уравнение поверхности в пространстве . Сами линии и поверхности понимаются как ГМТ (геометрические места точек) на плоскости и в пространстве. Что такое прямая, кривая, плоскость? Эти понятия не имеют точного определения. Тем не менее это знакомые нам понятия, и мы переходим к их изучению.

6. Уравнение прямой на плоскости

Теорема 5. Уравнение (1) при условии является общим уравнением прямой на плоскости.

Доказательство. Пусть задано уравнение (1). Условие означает, что хотя бы одно из чисел отличен от 0. Роль этих коэффициентов симметрична, поэтому для определенности будем считать, что . Следовательно, при выполнении условия (1) выполняется условие . Возьмем произвольное число и вычислим . Следовательно, для точки выполнено соотношение . Вычитая это соотношение из уравнения (1), получим эквивалентное (1) уравнение на плоскости (2)

Уравнение (2), равносильное уравнению (1), означает, что скалярное произведение вектора на вектор равно 0, т. е. эти векторы взаимно перпендикулярны. Следовательно, ГМТ уравнений (1) и (2) является прямая, проходящая точку перпендикулярно вектору . Верно и обратное. Каждая прямая на плоскости проходит через некоторую точку перпендикулярно некоторому вектору и, как следствие, представляется в виде (2) и в виде (1).

В связи с вышеизложенным логично уравнение (1) называть общим уравнением прямой на плоскости. Уравнение (2) называется приведенным уравнением прямой на плоскости. Оно является общим уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Еще раз отметим, что для уравнений прямой (1) или (2) вектор перпендикулярен этой прямой. Угол между перпендикулярами к двум прямым определяет угол между этими прямыми. Это важно понимать при решении задач.

Кроме уравнений (1) и (2), в конкретных ситуациях удобно использовать и другие виды уравнения прямой на плоскости.

Уравнение (3) называется уравнением прямой в отрезках. Уравнение (3) является уравнением прямой, проходящей через точку на оси абсцисс и через точку на оси ординат.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Уравнение (4) является уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть заданы 2 точки: и . Очевидно, что уравнение прямой, проходящей через эти две точки, запишется в виде (4^/).

Система уравнений вида (5) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Система (5) эквивалентна каноническому уравнению прямой на плоскости.

Уравнение ( ) (6) называется нормированным уравнением прямой на плоскости. Уравнение (6) является уравнением прямой, удаленной на расстояние от начала координат

При решении задач используется наиболее удобный вид уравнения прямой.