7. Уравнение плоскости в пространстве

Теорема 6. Уравнение (7) при условии является общим уравнением плоскости.

Доказательство. Пусть задано уравнение (7). Условие означает, что хотя бы одно из чисел отличен от 0. Роль этих коэффициентов симметрична, поэтому для определенности будем считать, что . Следовательно, при выполнении условия (7) выполняется условие . Возьмем произвольные 2 числа и , и вычислим . Следовательно, для точки выполнено соотношение . Вычитая это соотношение из уравнения (7), получим (8)

Что означает уравнение (8), равносильное уравнению (7)? Оно означает, что скалярное произведение вектора на вектор равно 0, т. е. эти векторы взаимно перпендикулярны. Следовательно, ГМТ уравнений (7) и (8) является плоскость, проходящая через точку перпендикулярно вектору . По сути, вектор определяет направление плоскости в пространстве. Угол между перпендикулярами к двум плоскостям определяет угол между этими плоскостями.

Теория прямой на плоскости и теория плоскости в пространстве во многом перекликаются.

Уравнение (8) называется приведенным уравнением плоскости. Оно является общим уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Кроме уравнений (7) и (8), в конкретных ситуациях удобно использовать и другие виды уравнения плоскости в пространстве.

Уравнение (9) называется уравнением плоскости в отрезках. Уравнение (9) является уравнением плоскости, проходящей через точку на оси абсцисс, через точку на оси ординат и через точку на оси аппликат.

Проверьте, что уравнение (10) является уравнением плоскости, проходящей через 3 заданные точки , , , не лежащие на одной прямой.

Аналогично, уравнение (11) является уравнением плоскости, проходящей через 2 заданные точки , параллельно вектору , не коллинеарному вектору .

Также уравнение (12) является уравнением плоскости, проходящей через заданную точки параллельно двум не коллинеарным векторам и .

Уравнение ( , ) (13) называется нормированным уравнением плоскости. Уравнение (13) является уравнением плоскости, удаленной на расстояние от начала координат.

При решении задач используется наиболее удобный вид уравнения плоскости.

8. Уравнение прямой в пространстве

Под прямой в пространстве мы будем понимать общую часть двух пересекающихся плоскостей. Следовательно, общим уравнением прямой в пространстве является система уравнений (14)

Система уравнений вида (15) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. Система (15) является уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть заданы 2 точки: и . Уравнение прямой запишется в виде (15^/).

Система уравнений вида (16) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Система (16) эквивалентна каноническому уравнению прямой в пространстве.

Пусть уравнение прямой задано в виде (14). Как записать его в более удобном каноническом виде? Для этого надо найти частное решение (14) – точку и, самое главное, - вектор , параллельный искомой прямой. В системе (14) две плоскости и имеют соответственно нормали (перпендикулярные им вектора) , . Так как каждая прямая плоскости перпендикулярна нормали к плоскости, то общая прямая этих двух плоскостей перпендикулярна и вектору и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно взять вектор . Рассмотрим пример решения такой задачи.

Пример 1. Напишите уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Заметим, что точка принадлежит каждой из плоскостей и, следовательно, лежит на искомой прямой. Для нахождения направляющего вектора этой прямой найдем векторное произведение векторов и , т. е. раскроем определитель . В итоге векторное произведение равно вектору и каноническое уравнение прямой можно записать в виде .