3. Сведения из теории линейных свч-усилителей

Матрица рассеяния СВЧ-транзистора

В диапазоне СВЧ для описания транзисторов широко исполь­зуется матрица рассеяния S. Элементы матрицы S представляют собой набор величин, связывающих между собой «падающие» и «отражённые» компоненты тока и напряжения на входе и выходе транзистора. С помощью матрицы S возможно полное описание СВЧ-транзистора при любых значениях сопротивлений Z₀₁ и Z₀₂ на его входе и выходе. Здесь и далее под сопротивлениями Z₀₁ и Z₀₂ понимаются полные сопротивления, приведённые соответственно к входным и выходным зажимам транзистора. Элементы матрицы S принято называть параметрами рассеяния (или S–параметрами) транзистора.

Концепция рассеяния при описании многополюсников, в частности транзистора, заимствована из теории распространения радиоволн, которая оперирует с реально существующими падающими и отражёнными волнами. У многополюсника на его входах и выходах не существует падающих и отраженных компонент токов и напряжений. Поэтому при использовании концепции рассеяния для описания многополюсников необходимо определить эти компоненты.

Рассмотрим четырехполюсник, подключенный к генераторам с полными внутренними сопротивлениями Z₀₁ и Z₀₂ ( рис. 1.17). При справедливости принципа суперпозиции четырёхполюсник полностью характеризуется Z -параметрами, с помощью которых устанавливается связь между напряжениями U1, U2 и токами I1,I2:

(1.33 а)

(1.33 б)

Рис. I. 17. Нагруженный четырехполюсник

Уравнения (I.33) удобно записывать в матричной форме

(1.34)

где

Для измерения Z -параметров необходимы режимы холостого хода на входе ( I₁=0) и на выходе ( I₂=0). В режиме холо­стого хода на выходе определяются параметры Z₁₁=U₁/I₁ и Z₂₁=U₂/I₁, а в режиме холостого хода на входе - параметры Z₁₂=U₁/I₂ и Z₂₂=U₂/I₂.

Линейный четырехполюсник можно представить также систе­мой Y -параметров. В этом случае уравнение, связывающее токи и напряжения, имеет вид

Для измерения Y -параметров требуются режимы короткого за­мыкания на входе и выходе. При коротком замыкании на выходе (U2=0) измеряются параметры Y₁₁=I₁/U₁ и Y₂₁=I₂/U₁, при ко­ротком замыкании на входе– параметры Y₂₂=I₂/U₂ и Y₁₂=I₁/U₂ .

В диапазоне СВЧ реализация режимов холостого хода и ко­роткого замыкания наталкивается на серьезные технические трудности. В этом диапазоне значительно проще реализуются режимы согласования на входе и выходе четырехполюсника. Это послужило основной причиной использования в СВЧ-диапазоне параметров рассеяния (s -параметров), для измерения которых как раз необходимы режимы согласования. Параметры рассеяния экви­валентны Z или Y -параметрам. Все системы параметров вза­имно однозначно пересчитываются друг в друга. Однако при ис­пользовании S -параметров следует учитывать их зависимость от нагрузок Z₀₁ и Z₀₂ на входе и выходе четырехполюсника; при изменении сопротивлений Z₀₁ и Z₀₂ параметры рассеяния принимают другие значения (см.ниже).

Согласно концепции рассеяния токи и напряжения на полюсах четырехполюсника представляют в виде

(1.35а)

i=1,2 (1.35б)

где I_iпад, U_iпад называются падающими компонентами токов и напряжений; I_iотр, U_iотр- соответственно отражёнными компонентами. В дальнейшем будем пользоваться матричной записью, поэтому выражения (I.35) представим в форме

(1.36а)

(1.36б)

где

Представление токов и напряжений на полюсах четырехполюсника в фopмe (1.36) не однозначно. Для устранения этой неоднозначности уравнения (1.36) дополняют следующими связями ме­жду компонентами напряжений и токов:

(1.37а)

(1.37б)

где , - диагональные матрицы вида

Здесь и далее символом * обозначается операция комплексного сопряжения.

Найдем падающие и отраженные компоненты и установим между ними связь. Из выражений (1.36) и (1.37) с использованием матричного уравнения (1.34) имеем

Группируя члены в последнем равенстве, получаем

Умножая слева обе части данного равенства на обратную матрицу , устанавливаем связь между падающими и отраженными компонентами токов:

(1.38)

где матрица

(1.39)

Матрица , определённая выражением (1.39), называется матрицей рассеяния токов.

Подставляя в соотношение (1.37б) выражение (I.38) для тока I_отр, находим . Из соотношения (1.37 а) определяем . Подставляя I_пад в полученное выражение для U_отр, устанавливаем связь между падающими и отраженными компонентами напряжений

(1.40)

где

(1.41)

Матрица , определенная выражением (1.41), называется матрицей рассеяния напряжений.

Из выражений (1.39) и (1.41) видна зависимость матриц рассеяния от сопротивлений Z₀₁ и Z₀₂. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании параметров рассеяния для расчета электрических цепей.

Выражения (1.36), (1.38) и (1.40) позволяют однозначно определить падающие и отраженные компоненты через U и I. Действительно, из выражений (1.З6а) и (1.38) имеем

соответственно из выражений (1.36б) и (1.40) находим

где [E] - единичная матрица.

Падающие и отраженные компоненты токов обычно нормируют, представляя их в виде

(1.42а)

(1.42б)

где диагональная матрица

Нормированные компоненты а и b связаны друг с другом матричным уравнением

(1.43)

где матрица рассеяния

(1.44)

Здесь - обратная матрица.

Матрица [S], определенная равенством (1.44), называется нормированной матрицей рассеяния, а ее элементы S_ik-нормированными параметрами рассеяния. При измерении параметров рассеяния нагрузки Z₀₁ И Z₀₂ полагают чисто активными и равными волновому сопротивлению Ro передающих линий (обычно Ro=50 Ом). Параметры рассеяния, измеренные при Ro=50 Ом, вносятся в справочные данные о транзисторе, причем сопротивление Ro называется отсчетным, а параметры рассеяния - измеренными. В случае Z₀₁=Ro и Z₀₂=Ro вcе три определенные выше матрицы рассеяния совпадают друг с другом .

Параметры рассеяния при произвольных нагрузках Z₀₁ и Z₀₂ принято называть обобщенными параметрами. В дальнейшем обобщенные параметры рассеяния и соответствующие матрицы рассеяния будем отмечать волнистой чертой сверху. Нормированные обобщенные параметры рассеяния однозначно выражаются через измеренные параметры рассеяния [3]:

однозначно выражаются через из­меренные параметры рассеяния [3]:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

где

i=1,2; (1.49)

i=1,2; (1.50)

Формулы (1.45)...(1.50) широко используются при расчетах линейных цепей, нагруженных на сопротивления, отличные от отсчетного сопротивления Ro.

Уточним физический смысл нормированных падающих и отраженных компонентов и нормированных параметров рассеяния. Из выражений (1.36) и (1.37) находим

Отсюда имеем

i=1,2; (1.51а)

i=1,2 (1.51б)

Из выражений (1.42) и (1.51) получаем нормированные компоненты

i=1,2; (1.52а)

i=1,2 (1.52б)

Используя выражения (1.52), нетрудно установить, что

Замечая, что есть мощность P_i , выделяемая на i-ой паре полюсов четырехполюсника, из выражений для и получаем и

Тем самым, через нормированные падающие и отраженные компоненты может быть вычислена мощность, поступающая из внешней цепи в i-е плечо четырехполюсника. Причем можно трактовать как падающую, а - как отраженную мощность.

Рассмотрим теперь четырехполюсник, вход которого подключен к источнику с внутренним сопротивлением Z₀₁, а выход нагружен на пассивную нагрузку Z₀₂. В этом случае , и согласно выражению (1.52 а) падающий компонент a₂=0. Поэтому , и в силу отрицательности величины P2 мощ­ность есть мощность, отдаваемая четырехполюсником в пассивную нагрузку. Поступающая в четырёхполюсник от источника мощность . Таким образом, через нормированные падающие и отраженные компоненты можно вычислять мощности Рвх и Рн и найти коэффициент прямой передачи мощности

.

Раскрывая матричное уравнение (1.43) с учетом того, что в рассматриваемом случае , и используя выражения (1.52), находим

(1.53)

где Z_вх=U₁/I₁-входное сопротивление четырехполюсника. Следовательно , обобщенный параметр рассеяния имеет смысл коэффициента отражения от входа четырехполюсника, выход которого нагружен на пассивную нагрузку Z₀₂. Замечая, что при а2=0 отраженный компонент получаем

(1.54)

Из матричного уравнения (1.43) при имеем также . Отсюда находим

(1.55)

Согласно выражениям (1.54) и (1.55) коэффициент прямой передачи мощности

(1.56)

Отметим, что в формулах (1.53 )...(1. 56) фигурируют обобщенные параметры рассеяния, определенные при нагрузках Z₀₁ и Z₀₂.

Предположим, что источник сигнала имеет внутреннее сопротивление , т.е. четырехполюсник сопряженно согласован с источником сигнала. В этом случае в соответствии с выраже­нием (1.53) параметр рассеяния . Поэтому коэффициент передачи мощности . Таким образом, имеет смысл коэффициента передачи мощности с входа на выход четырехполюсника при условии его сопряженного согласования с источником сигнала.

Поменяем местами источник сигнала и пассивную нагрузку, т.е. вход четырехполюсника нагрузим на сопротивление Z₀₁, а к выходу подключим источник сигнала с внутренним сопротивле­нием Z₀₂. В этом случае падающий компонент , выделяемая в нагрузке мощность и поступающая от источника мощность . Соответственно, обратный (с выхода на вход) коэффициент передачи мощности .

Из матричного уравнения (1.43) при находим

(1.57)

где Z_вых=U₂/I₂-выходное сопротивление четырехполюсника, нагруженного на входе на сопротивление Z₀₁. Следовательно, обобщенный параметр , имеет смысл коэффициента отражения от выхода четырехполюсника при условии, что его вход нагружен на сопротивление Z₀₁.

Действуя далее по аналогии с предыдущим случаем, находим мощности , и коэффициент обратной передачи мощности

(1.58)

При сопряженном согласовании четырехполюсника с источником сигнала и Тем самым, в соответствии с выражением (1.58) имеет смысл коэффициента передачи мощности с выхода на вход четырехполюсника при условии его сопряженного согласования с источником сигнала.

Входное и выходное сопротивления усилителя

Рассмотрим усилительный каскад на транзисторе. Положим, что транзистор задан нормированными параметрами рассеяния, измеренными при чисто активном отсчетном сопротивлении Ro (для конкретности можно считать Ro=50 Ом). Вычислим входное и входное сопротивления каскада при произвольных значениях нагрузки Zн и внутреннего сопротивления Zг источника сигнала.

Начнем с вычисления входного сопротивления Zвх. Если принять и , то из выражения (1.53) получим, где - обобщенный параметр рассеяния, вычислен­ный при и . Этот параметр задается соотношением (1.45), в котором

Так как , то приравнивая выражение (1.45) нулю, получаем уравнение для коэффициента отражения Г₁ в виде

Решая это уравнение, находим

(1.59)

Поскольку , то с учетом равенства (1.59) имеем входное сопротивление

(1.60)

где - коэффициент отражения от нагрузки на выходе четырехполюсника.

Аналогичным способом, но при и , получаем выходное сопротивление

(1.61)

где - коэффициент отражения от нагрузки на входе четырехполюсника.

Устойчивость усилителя

Первым соображением при проектировании усилителя является обеспечение режима, исключающего возможность самовозбуждения усилительного каскада. Усилитель может быть либо условно, либо абсолютно устойчив. Если условия самовозбуждения не выполняются при любых пассивных нагрузках Zг и Zн на входе и выходе транзистора, то усилитель на таком транзисторе будет абсолютно устойчив. Если самовозбуждение не наступает только при определенных нагрузках Zг и Zн, то усилитель считается условно устойчивым (или потенциально неустойчивым). Для практического применения большой интерес представляет абсолютная устойчивость усилителя, так как в этом случае путем выбора нагрузок Zг и Zн можно получить максимальный коэффициент передачи мощности или минимальный коэффициент шума каскада, добиться минимальных значений коэффициентов стоячей волны на входе и выходе каскада и т.д.

Усилитель не будет склонен к самовозбуждению, если при любых пассивных нагрузках Zг и Zн на входе и выходе транзистора коэффициенты стоячей волны КСВН₁ и КСВН₂ на входных и выходных полюсах транзистора строго положительны. В противном случае самовозбуждение не исключается, и усилитель будет потенциально неустойчивым.

По определению

где , - соответственно падающие и отражённые компоненты на i-й паре полюсов транзистора. Таким образом, КСВНi>0, если . Согласно выражениям (1.53) и (1.57) неравенства , i=1,2 равносильны неравенствам

(1.62а)

(1.62б)

где, - обобщенные параметры рассеяния транзистора, вы­численные соответственно при выходной нагрузке Z₀₂=Zн и при входной нагрузке Z₀₁=Zг.

Итак, усилитель абсолютно устойчив, если при любых на­грузках Zг и Zн или, что эквивалентно, при произвольных коэффициентах отражения Гг и Гн, одновременно выполняются условия (1.62а) и (1.62б). Раскрывая по формулам (1.45) и (1.48) параметры , приходим к следующим условиям абсолютной устойчивости:

(1.63а)

(1.63б)

npи всех коэффициентах отражения Гг и Гн, не превосходящих по модулю единицы. Здесь - параметры рассеяния транзистора, измеренные при отсчетном сопротивлении Ro. Ограничение обусловлено тем, что нагрузки и являются пассивными

.

Анализ условий (1.63) с помощью круговой диаграммы показал, что усилитель абсолютно устойчив при одновременном выполнении неравенств

(1.64а)

(1.64б)

(1.64в)

где

(1.65)

(1.66)

i=1,2 (1.67)

Коэффициент K_уст принято называть коэффициентом устойчивости. При невыполнении хотя бы одного из неравенств (1.64) усилитель потенциально неустойчив.

Условия (1.64) удобны для инженерных расчетов, так как выражаются только через измеренные параметры рассеяния транзистора. Они широко используются при проектировании СВЧ-усилителей на транзисторах.

Сопряженное согласование усилителя

Усилитель сопряженно согласован по входу, если полное внутреннее сопротивление источника сигнала , где Z_вх-входное сопротивление транзистора, нагруженного на пассивную нагрузку Zн. Аналогично усилитель сопряженно согласован по выходу, если , где Z_вых-выходное сопротивление транзистора, нагруженного на входе на пассивную нагрузку Zг. При одновременном согласовании по входу и выходу усилитель называют сопряженно согласованным. В указанных условиях сопряженного согласования под нагрузками Zг и Zн понимают нагрузки, приведенные соответственно ко входу и выходу транзистора.

Сопряженное согласование по входу (выходу) возможно только в том случае, когда ReZ_вх>0 (ReZ_вых>0). Если усилитель абсолютно устойчив, то возможно одновременное сопряженное согласование по входу и выходу, так как у такого усилителя ReZ_вх>0 и ReZ_вых>0 при любых нагрузках на входе и выходе транзистора.

Сопряженное согласование усилителя достигается за счет включения входной согласующей цепи между источником сигнала и транзистором и выходной согласующей цепи между транзистором и нагрузкой. Эти согласующие цепи трансформируют фактические сопротивления и источника и нагрузки к тем значениям Zн и Zг при которых достигается сопряженное согласование. В усилителях СВЧ-диапазона часто и , где Ro=50 Ом -волновое сопротивление подводящих линий.

Из выражений (1.53) и (1.57) при подстановке Z01=Zг и Z02=Zн следует , что при сопряженном согласовании на входе и выходе обобщенные параметры рассеяния и . Поэтому, приравнивая нулю выражения (1.45) и (1.48), приходим к следующим условиям сопряженного согласования усилителя :

Решая данную систему уравнений, получаем [I]

(1.68а)

(1.68б)

где К_уст, L_i, i=1,2 определяются выражениями (1.65)..(1.67), и коэффициенты

(1.69)

(1.70)

При абсолютной устойчивости усилителя в решениях (1.68) следует использовать знак минус перед квадратными корнями, так как в этом случае модули коэффициентов отражения |Г_г|<1, |Гн|<1, и поэтому сопряженное согласование обеспечивается пассивными согласующими цепями. Если усилитель потенциально неустойчив, но коэффициент К_уст > 1, то сопряженное согласование с помощью пассивных согласующих цепей также возможно. Однако в данном случае выбор знака перед квадратным корнем зависит от выполнения или невыполнения условии устойчивости (1.64б) и (1.64в). Если оба этих условия не выполняются, то в обоих выражениях (1.68) квадратный корень берется со знаком плюс. Если не выполняется только условие (1.64б), то знак плюс берется в выражении (1.68а) и знак, "минус"- в выражении (1,68б). При невыполнении условия (1.64в) порядок выбора знаков меняется на обратный.

По определенным коэффициентам отражения (1.68) вычисляются приведенные к транзистору сопротивления нагрузок:

(1.71а)

(1.71б)

которые затем используют при расчете согласующих цепей усилителя.

Коэффициент передачи мощности усилителя

В общем случае коэффициент передачи мощности Kг, определяется выражением (1.56). Исследование этого выражения с применением формул (1.45) и (1.47) показывает [1], что при абсолютной устойчивости усилителя

причем верхняя граница для коэффициента передачи мощности достигается при KCBH₁=1 и KСBH₂=1, т.е. при сопряженном согласовании усилителя. Для потенциально неустойчивых усилителей с коэффициентом К_уст>1

где нижняя граница достигается при KCBH₁=1 и КСВН₂=1, a верхняя - при .

Для абсолютно устойчивых усилителей целесообразно сопря­женное согласование, так как оно обеспечивает максимальный коэффициент передачи мощности и минимальные значения КСВН на входе и выходе усилителя. Для потенциально неустойчивых усилителей также рекомендуется сопряженное согласование из соображения минимизации КСВН.

При сопряженном согласовании коэффициент передачи мощности

(1.72)

если усилитель абсолютно устойчив, и

(1.73)

если усилитель потенциально неустойчив, но коэффициент К_уст>1. В обоих случаях КСВН на входе и выходе усилителя минимальны.

Для потенциально неустойчивых транзисторов, у которых коэффициент устойчивости К_уст<1, существуют при выполнении определенных условий варианты построения условно устойчивых усилителей с неплохими характеристиками. Эти варианты приведены в работе [1]. Однако расчет таких усилителей достаточно сложен и в данном учебном пособии не рассматривается. Поэтому транзистор с коэффициентом устойчивости К_уст< 1 заменяется при расчете усилителя другим транзистором, у которого К_уст>1.

Однонаправленный усилитель

Усилитель считается однонаправленным, если коэффициент обратной передачи мощности , т.е. если параметр рас­сеяния [см.выражение (1.58)]. Согласно выражению (1.46) обобщенный параметр при любых нагрузках, если у транзистора параметр рассеяния S₁₂=0. Таким образом, усилитель на транзисторе с параметром S₁₂=0 будет однонаправленным при любых нагрузках на входе и выходе.

Из выражений (1.45), (1.47) и (1.56) получаем коэффициент передачи мощности однонаправленного усилителя

(1.74)

Максимум коэффициента передачи мощности достигается при и . Подставляя эти значения Г_г и Г_н в выражение (1.74), получаем максимальный коэффициент передачи мощности

(1.75)

Однонаправленный усилитель абсолютно устойчив при |S₁₁| < 1 и |S₂₂|<1. Косвенное подтверждение этому можно получить из выражения (1.75), согласно которому коэффициент передачи мощности неограниченно возрастает при |S₁₁|→1 и |S₂₂|→1.

Сопряженное согласование усилителя, как уже отмечалось, достигается при и . Раскрывая эти равенства с помощью выражении (1.45) и (1.48) и учитывая равенство S₁₂=0, находим, что однонаправленный усилитель сопряжённо согласован при

(1.76)

Сравнивая условия (1.76) с условиями, обеспечивающими максимум коэффициента передачи мощности, замечаем, что однонаправленный усилитель обладает максимальным усилением при сопряженном согласовании на входе и выходе.

При сопряженном согласовании отношение  реального коэффициента передачи мощности (определенного при S₁₂≠0) к коэффициенту передачи однонаправленного усилителя ограничено следующими значениями [5]:

(1.77)

где

(1.78)

Границы (1.77) позволяют ответить на вопрос о том, каким следует считать проектируемый усилитель. Если разница между верхней и нижней границами мала (разброс не превышает 0,5 дБ), усилитель можно считать однонаправленным. В этом случае расчет усилителя существенно упрощается и сводится к вычислению коэффициентов отражения по формулам (1.76) и коэффициента передачи по формуле (1.75). Поэтому перед началом расчета полезно проверить усилитель на однонаправленность. Усилитель можно считать однонаправленным, если

(1.79)

где параметр W определен выражением (1.78).

Шумовые характеристики усилителя

Шумовые характеристики четырехполюсников на СВЧ удобно вычислять, используя систему шумовых параметров [1]. Шумовые параметры представляют собой средние характеристики нормированных шумовых компонент S_Ш1 и S_Ш2, которые добавляются к отраженным нормированным компонентам b₁ и b₂. Уравнения шумящего четырехполюсника, нагруженного на отсчетные сопротивления Ro, имеют вид

(1.80)

где S_ik- параметры рассеяния транзистора, измеренные при отсчетном сопротивлении Ro. Нормировка падающих, отраженных и шумовых компонент производится относительно . Шумовые компоненты S_Ш1 и S_Ш2 являются случайными и, в общем случае, коррелированы между собой.

Конечная цель введения, шумовых параметров состоит в получении расчетных выражений коэффициента шума. Поэтому для расчетов наиболее удобны нормированные спектральные плотности шумовых компонент:

(1.81)

где k-постоянная Больцмана; Тo-абсолютная температура.

Чертой сверху обозначена операция статистического усреднения.

Шумовые параметры (1.81) принято называть -параметрами транзистора. В работе [1] даны методики расчета и экспериментального определения -параметров транзисторов.

Из уравнения (1.80) можно определить коэффициент шума нагруженного четырехполюсника [1,6,7]:

(1.82)

где Г_г-коэффициент отражения от нагрузки Z_г на входе четырехполюсника.

Выражение (1.82) показывает, что коэффициент шума четырехполюсника зависит от S- и  -параметров транзистора и нагрузки Z_г на входе четырехполюсника (внутреннего сопротивления источника сигнала, приведенного к четырехполюснику).

Минимизация коэффициента шумa (1.82) по коэффициенту отражения Г_г показывает, что минимальный коэффициент шума

(1.83)

достигается при , где

(1.84)

(1.85)

(1.86)