Разрядность чисел

Попробуем определить сколько цифр потребуется в различных системах счисления для того, чтобы представить какой либо диапазон чисел. Найти эту величину можно с помощью формулы количества информации в случае равномерного распределения случайных событий:

C=log_pN (1.5.1)

Здесь С-количество цифр (разрядов) необходимых для представления N чисел начиная с 0 в системе счисления с заданным основанием p. Причем, после получения С, необходимо провести его целочисленное округление вверх.

Например : дан диапазон чисел (0..1000). В диапазоне чисел от 0 до 1000 находится 1001 целое число. Таким образом требуется:

В двоичной системе счисления С=log₂1001=9,9672 => С=10

В восьмеричной системе счисления С=log₈1001=3,3224 => С=4

В десятеричной системе счисления С=log₁₀1001=3,0004 => С=4

В шестнадцатеричной системе счисления С=log₁₆1001=2,4918 => С=3

В результате проверки оказывается , что

(1001)₁₀=(1111101001)₂ – 10 двоичных знаков

(1001)₁₀=(1751)₈ – 4 восьмеричных знака

(1001)₁₀=(3E9)₁₆ – 3 шестнадцатеричных знака

Сравнительная характеристика систем исчисления

Исторически люди предпочитают десятичную систему, а в ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (т.к. числа 8 и 16 - соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Сравнительная характеристика систем счисления используемых в ЭВМ Система счисления Недостатки Достоинства Двоичная очень громоздкая запись чисел, непривычна для человека Электронные устройства для работы с такими числами очень просты, т.к. требуется производить анализ всего двух состояний. Восьмеричная относительная громоздкость чисел, непривычна для человека, более сложная реализация арифметических устройств позволяет компактно переходить к двоичной системе счисления Десятичная сложная реализация арифметических устройств, сложные правила перевода в другие системы счисления привычна для человека, компактная запись чисел Шестнадцатеричная непривычна для человека, сложная реализация арифметических устройств Компактная запись чисел, удобный переход к двоичной системе счисления