3 Величина напрямленого відрізка. Координатна вісь

Означення. Величиною напрямленого відрізка АВ, розташованого на осі, називається число, яке дорівнює довжині відрізка, взяте із знаком «+», якщо напрям відрізка збігається із напрямом осі, і із знаком «—», якщо напрям відрізка протилежний напряму осі.

Теорема (Основна тотожність між величинами).

При будь-якому розташуванні точок А, В, С на осі l величини відрізків АВ, ВС, АС задовольняють співвідношення

АС = АВ+ВС

Теоремa. Величина напрямленого відрізка АВ на координатній осі Ох дорівнює різниці координат кінця і початку цього відрізка.

АВ = х₂— х₁

Проекція вектора на вісь

1. Поняття проекції вектора на вісь

Означення. Проекцією на вісь l точки М називається точка М₁, яка є основою перпендикуляра, опущеного із точки М на вісь l (рис. 1).

Позначається це так

M_l= np_l M.

Означення. Проекцією вектора АВ на вісь l називається величина напрямленого відрізка A_lB_l, розташованого на осі l, тобто

Пр_l АВ = А_lВ_l,

де А_l, В_l—це відповідно проекції початку А та кінця В вектора АВ (рис. 1).

Таким чином, проекція вектора АВ на вісь є число, яке додатне, якщо напрям A_lB_l збігається з напрямом осі l і від'ємне — в протилежному випадку.

Якщо вектор АВ і вісь l не лежать в одній площині (розташовані на перехресних прямих), то для того, щоб спроектувати вектор АВ на вісь, потрібно через точки А та В провести площини, перпендикулярні до осі. Точки їх перетину з віссю і будуть відповідно проекціями А_l та В_l точок А та В.

Означення. Кутом між вектором і віссю називається найменший кут, на який потрібно повернути вісь так, щоб її напрям збігся з напрямом вектора.

Кут між вектором АВ і віссю l позначається так :

(АВ, l) = (а,l) = φ.

Для того, щоб визначити кут φ, потрібно через початок вектора а провести пряму, паралельну осі (рис. 2) (або із будь-якої точки осі побудувати вектор, що дорівнює даному), і кут між вектором а і прямою, паралельною осі, і буде φ, при цьому 0 < φ < 180°.

Очевидно, якщо φ — гострий кут, то np_la — додатна, а якщо φ — тупий кут, то np_la — від'ємна.

2. Властивості проекцій вектора на вісь

Властивість 1 (про величину проекції). Проекція вектора на вісь

дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю:

пр_lAB = |AB|cos(AB,l) = |AB| cos φ,

np_la = |a| cos(a,l) = |α| cos φ. (1)

Наслідок 1. Із формули (1) дістаємо

cоs φ = cos (a,l) = np_la/|a| = a_l /|а|, (2)

тобто косинус кута між вектором і віссю є відношенням проекції вектора на вісь до його модуля.

Наслідок 2. Рівні вектори мають рівні проекції, тобто якщо а = b, то a_l=b_l.

Властивість 2. Проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь:

пр_l(а + b + с) = пр_l а + пр_l b + пр_l с = a_l + b_l + с_l. (3)

Властивість 3. Проекція на вісь добутку скаляра на вектор дорівнює добутку скаляра на проекцію вектора на цю вісь:

Np_l λа = λnp_la. (4)

Наслідок. Для колінеарних векторів а | | b відношення їх проекцій a_l і b_l на вісь l є величина стала, незалежна від положення осі.

Властивість 4. Проекція вектора на координатну вісь дорівнює різниці координат проекцій кінця і початку вектора

пр_ОхАВ = А_хВ_х = х₂ — x₂, (5)

де А_x (х₁) і В_х (х₂) — це проекції точок А і В на вісь Ох .