1.7.Стационарная теплопроводность

1.7.1.Передача теплоты теплопроводностью стенки

Рассмотрим решение задачи по определению стационарных температурных полей в плоских, цилиндрических и сферических однородных стенках при граничных условиях 1 рода (см. рис. 1.4.). На наружных поверхностях стенок поддерживаются постоянными температуры и , . Требуется определить также величину теплового потока, проходящего через стенку.

Дифференциальное уравнение теплопроводности запишется для данного случая в виде:

Рис. 1.4. К определению стационарных температурных полей

, (1.20)

где –коэффициент формы тела; для пластины, цилиндра и шара он равен

1, 2, 3; и –координаты внутренней и наружной поверхностей стенок.

Для цилиндрических и сферических стенок удобнее вместо х использовать радиусы. Однако этими обозначениями можно воспользоваться при рассмотрении конкретных формул.

Так как , то можно записать в полных производных:

. (1.21)

Так как , то

.

Используя метод разделения переменных, можно записать:

. (1.22)

Проинтегрировав уравнение (1.22), получим:

.

(1.23)

Граничные условия задачи:

при

при

если , то

С учетом первых граничных условий:

. (1.24)

С учетом вторых граничных условий:

. (1.25)

Из уравнения (1.25) выразим постоянную интегрирования .

.

Найдем вид функции :

для пластины

= ) ;

для цилиндра

;

для шара

Тогда будет равна:

для пластины

для цилиндра

для шара

Плотность теплового потока можно найти из выражения:

(1.26)

Уравнение (1.26) позволяет проанализировать распределение плотности теплового потока по толщине стенки.

Для плоской стенки , т.е. плотность не изменяется.

Для цилиндрической стенки а плотность изменяется по гиперболе.

Для сферической стенки а плотность изменяется по параболе второго порядка.

Для плоской стенки

Вт/м². (1.27)

Для цилиндрической стенки

Вт/м². (1.28)

Для сферической стенки

Вт/м². (1.29)

Полное количество передаваемой теплоты равно:

для плоской стенки

Вт; (1.30)

для цилиндрической стенки

Вт при ; (1.31)

для сферической стенки

Вт при . (1.32)

Здесь Вт/(м^2оС)–тепловая проводимость плоской стенки, а

(м^2оС)/Вт–тепловое или термическое сопротивление плоской стенки.

Для цилиндрической и сферической стенок тепловые сопротивления запишутся в виде:

и

Понятие теплового сопротивления позволяет получить уравнения для вычисления количества теплоты, передаваемой через многослойную стенку, т.е. стенку, состоящую из слоев различной толщины и имеющих различные значения коэффициентов теплопроводности.

Для плоской многослойной стенки

Вт. (1.33)

Для цилиндрической многослойной стенки

Вт. (1.34)

Для сферической многослойной стенки

Вт. (1.35)

В случае малой толщины цилиндрической стенки по сравнению с ее внутренним диаметром стенку можно рассматривать плоской. Тогда толщина стенки будет равна , а ее средняя поверхность . Подставляя эти значения толщины и поверхности в уравнение для плоской стенки (1.30), получим приближенную формулу для определения количества теплоты, передаваемой теплопроводностью через 1 м длины трубы.

Вт/м.

Величина получаемой ошибки по этой формуле по сравнению с величиной ошибки, полученной по более точной формуле, будет зависеть от отношения диаметров . При отношении <1,5 величина ошибки не превышает 1,2%, а при отношении =2 она увеличивается почти до 4%.