17. Дифференцирующее звено второго порядка.

Общие физически нереализуемы по отдельности. Общий вид может разбить на составляющие реализуемы только в дополнений к чему-либо.

Неустойчивые звенья.

Все звенья, кроме имели неотрицательные коэффициенты, только в том случае корниhave действительную часть.

в неустойчивом

в устойчивом

18 Звено чистого запаздывания

Передаточная функция:

Наряду с обыкновенными диф. уравнениями того вида, что было приведены, есть и такие диф. ур-я с запаздывающими звеньями.

Это звено призвано отражать в 1-ом приближении транспортное запаздывание (грубого учета) в трубопроводах, линиях передач.

Явления в длинных линиях описываются уравнениями частных производных. Многие явления в длинных линиях можно описать с распределенными параметрами.

Вывод:

(1)

Связь в оригиналах (1). Принцип суперпозиции тут выполняется, если разбить входной сигнал на 2 составляющие, задерж. на и сложить и будет то же самое, как входной сигнал задержать на.

Частотные характеристики:

(2)

(3)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика =0

Включение звена запаздывания приводит к сдвигу фазовой характеристики звена управления.

19. Устойчивость: Условие устойчивости линейной системы

Свойство системы, когда система возвращается в первое положение после того, как её вывели из положения равновесия – Устойчивость линейных систем.

Если устойчивую линейную систему (ЛС) вывести из положения равновесия, то она вернётся в то же положение, если система не устойчивая, то не вернётся.

Устойчивая ЛС - это система, имеющая устойчивое положение равновесия.

Центральным моментом устойчивости является теория Липпоу.

Если система описывается д.у. (?), То устойчивость изучается при отсутствии внешних воздействий. Устойчивость изучается математически, при отсутствии правой части (=0). Предполагается, что воздействие было, но закончилось и есть только результат воздействия.

Собственные колебания Сумма экспонент , где- корень характеристического уравнения. Для устойчивости необходимо, чтоRe части характеристического уравнения были – Д (?) (правая часть уравнения тоже рана 0)

Уравнение всегда пишется в отношениях от положения равновесия, а не в координ, поэтому положение равновесия – начало координат. Если корни характеристического уравнения находятся в левой части то система устойчива.

Сформирование условие устойчивости ЛС без вычисления корней характеристического уравнения- критерий устойчивости.

Критерий устойчивости

-алгебраические

-графические

20. Принцип аргумента

По теореме Виета хар-ий полином может быть выражен через корни этого полинома

Для частотной характеристики вместополагается

,

Приращение аргумента – это на какой угол повернется вектор. Он повернется на илив зависимости от того, в какой полуплоскости находятся корни, если в левой, то против часовой стрелки, если в правой – наоборот.

Характеристический полином – это произведение таких векторов.

Если все корни хар-го уравнения находятся в левой полуплоскости, то приращение аргумента находится:,

n – порядок полинома.

Если хар-ий полином имеет m корней в правой полуплоскости, то значит он имеет n-m корней в левой полуплоскости, тогда приращение аргумента:

, (можно поделить на пи, сократить).

Другой принцип аргумента: приращение аргумента хар-го полинома, при изменении частоты от 0 до равно:

;

Для устойчивости системы n-го порядка вектор должен повернуться против часовой стрелки на, т.е. последовательно пройтиn квадрантов.

Если же по отдельности рисовать действительную и мнимую хар-ки, то поочередное прохождении квадрантов эквивалентно:

Из принципа аргумента следует критерий устойчивости Михайлова. В самом деле – система устойчива только если корни знаменателя передаточной функции находятся в отрицательной полуплоскости. А для этого нужно, чтобы приращение аргумента составило n. Итого получаем : если нули действительной и мнимой части знаменателя передаточной функции D(jw) при w от 0 до 00 чередуются между собой то система усточнива иначе не устойчива. Или же в другой форме - если годограф знаменателя проходит через n квадрантов , то система устойчива( квадрат область на комплексной плоскости где знак действительной и мнимой части определён. Всего квадрантов 4) – при этом приращение аргумента составит n/2, а это значит, что при частоте от -00 до 00 приращение аргументов составило бы n.

Пример. Пусть W(s)=k/(s*(T²s²+2Ts+1)

T=0,01 c.



k=5 (первый вариант) k=20 - 2-й вариант.

Расчитаем передаточную функцию замкнутой системы c отрицательной единичной обратной связью. Получим

Ф(S)=W(s)/(1+W(s)) (6.1)

Подставив W(s) имеем

Ф(S)=k/( T²s³+2Ts²+s+k) (6.2)

Заменив S на jw получаем что знаменатель передаточной функции равен

D(jw)= T²(jw)³+2T(jw)²+jw+k (6.3)

Разделим знаменатель на дейстительную часть U(w) и мнимую jV(w) тогда

U(w)=k-2Tw² (6.4.1)

V(w)= w-T²w³ (6.4.2)

Имеем корни w₁=0 w₂=100 для обоих вариантов

Другие два корня равны w_3,4= (6.5)

Для первого варианта это 50 т.е. приблизительно 70. Как видим, действительная и мнимая часть обращаются в 0 попеременно - система устойчива. Для второго же варианта получим корни 100 или 141 - тут корни обращаются в 0 не попеременно, значит система неустойчиво (Задание - самостоятельно построить годограф системы и показать, что в первом случае он проходит через 4 квадранта последовательно, а во втором - нет)