2.3. Внутрішня норма доходності (irr)

Внутрішня норма доходності (internal rate of return – IRR) – найбільш широко використовуваний критерій ефективності інвестицій. Під внутрішньою нормою доходності розуміють процентну ставку, при якій чиста теперішня вартість інвестиційного проекту дорівнює нулю.

Внутрішня норма доходності визначається розв’язанням рівняння:

(2.6)

Це рівняння розв’язується відносно IRR будь-яким ітераційним методом.

Неважко помітити, що при NPV = 0 теперішня вартість проекту (PV) дорівнює за абсолютною величиною початковим інвестиціям І₀, відповідно, вони окуповуються. У загальному випадку, чим вища величина IRR, тим більша ефективність інвестицій. На практиці величина IRR порівнюється із заданою нормою дисконту r. При цьому якщо IRR > r, проект забезпечує позитивну NPV і доходність, що дорівнює IRR – r. Якщо IRR < r, витрати перевищують доходи, і проект буде збитковим.

Розрахунок IRR ручним способом достатньо складний. Проте сучасні табличні процесори дозволяють швидко та ефективно визначити цей показник шляхом використання спеціальних функцій.

Автоматизація розрахунку показника IRR

У ППП Excel для розрахунку внутрішньої норми доходності реалізовані три функції – ВСД ( ) , МВСД ( ) , XIRR ( ).

Функції використовують наступні аргументи:

значения	– значення елементів грошового потоку;
ставка	– норма дисконту (процентна ставка);
ставка_реинвест	– ставка реінвестування (тільки для МВСД ( ));
Даты	– дати платежів (тільки для ЧИСТВНДОХ ( ));
предположения	– норма приведення (необов’язковий аргумент).

Для коректної роботи цих функцій грошовий потік повинен складатися із хоча б одного від’ємного і одного додатного елемента (тобто повинні мати місце хоча б одна виплата і одне надходження коштів).

Функція ВСД (значение; [предположение])

Ця функція здійснює розрахунок IRR за формулою (2.6) для грошового потоку, заданного аргументом значение.

Розрахуємо внутрішню норму доходності для прикладу 2.1. Для цього введіть у комірку В18 формулу (рис. 2.7):

= ВСД (В6:В12) (Результат: 0,26 або 26%).

Рис. 2.7. Розрахунок внутрішньої норми доходності (ВСД ( ) )

Оскільки отриманий результат перевищує норму дисконту (10%), критерій IRR також рекомендує прийняти даний проект. При цьому ефективність даної операції складе: 26% – 10% = 16%.

Використовуючи отриману таблицю, самостійно проведіть аналіз чутливості даного показника до змін норми дисконту і структури потоку платежів.

Функція ЧИСТВНДОХОД (значения; даты; предп)

Функція ЧИСТВНДОХ ( ) дозволяє визначити показник IRR для потоку платежів з довільним розподілом у часі, якщо відомі їх передбачувані дати. Цю функцію зручно використовувати у тандемі із функцією XNPV ( ).

Модифікуємо у черговий раз таблицю для розв’язання прикладу 2.1.

Введіть у комірку В19 формулу (рис. 2.8):

=ЧИСТВНДОХОД (В6:В12; А6:А12) (Результат: 26%).

Рис. 2.8. Розрахунок внутрішньої норми доходності (ЧИСТВНДОХОД ( ) )

Показник IRR, розраховується у процентах, більш зручний ддддля використання в аналізі, ніж показник ЧПС, оскільки відносні велдичнини легше піддаються інтерпретації. Наприклад, ефективність проекту з IRR = 26% очевидна для прикладу, що розглядається, якщо необхідні для його реалізації грошові кошти можна позичити у банку під 10% річних.

Критерій внутрішньої норми доходності несе в собі також інформацію про приблизну величину межі безпеки для проекту. Якщо припустити, що у попередньому випадку при оцінці грошового потоку можлива помилка і IRR проекту виявиться рівним 20%, при попередній процентній ставці по кредиту (10%) проект все одно забезпечить отримання доходу.

При підвищенні вартості позики до 22 – 24% при IRR = 26% залишається надто мала межа безпеки на випадок помилки і, можливо, такий проект буде відразу відхилений і проведення подальшого аналізу не буде потрібним. Як показано нижче, ППП Excel дозволяє швидко та ефективно здійснити аналіз межі безпеки для інвестиційних проектів.

Розглянуті переваги критерію IRR пояснюють його популярність на практиці. Дослідження зарубіжного досвіду показують, що більше 40% фірм використовують цей критерій для оцінки ефективності інвестицій.

Разом із тим його недоліки також потребують серйозного розгляду. До одного із найсуттєвіших слід віднести нереалістичне припущення про ставку реінвестування.

На відміну від NPV критерій внутрішньої норми доходності неявно передбачає реінвестування отриманих доходів по ставці IRR. Якщо фінансування проекту у прикладі 2.1 здійснюється за рахунок банківської позики під 10% річних, то отримувані у процесі його реалізації доходи повинні бути реінвестовані по ставці 26% річних, тобто по ставці, що у 2,6 рази перевищує ставку по довготермінових кредитах! Очевидно, що це навряд чи здійснено на практиці.

Для коректного врахування припущення щодо реінвестування в ППП Excel реалізована функція МВСД ( ).

Функція МВСД (значения; ставка_финанс; ставка_реинвест)

Функція МВСД ( ) обчислює модифіковану внутрішню норму доходності (modified internal rate of return – MIRR). Дана функція має спеціальний аргумент – передбачувану ставку реінвестування.

Припустимо, що у прикладі 2.1 існує можливість реінвестування отриманих доходів по ставці 8% річних. Тоді модифікована норма доходності, задана у комірці В20, складе (рис. 2.9):

= МВСД (В6:В12; В3; 0,08) (Результат: 18%).

Рис. 2.9. Розрахунок внутрішньої норми доходності (МВСД ( ) )

Неважко помітити, що отримана модифікована норма рентабельності майже на третину менша за попередню, проте вища за задану, тому навіть при більш песимістичній оцінці реальних умов проект можна вважати прибутковим.

ДЗ

Варіюючи значення ставки реінвестування, прослідкуйте зміни показника MIRR.

Другий недолік показника внутрішньої норми доходності пов'язаний із можливістю існування його декількох значень. У загальному випадку, якщо аналізується єдиний або декілька незалежних проектів із «звичайним» грошовим потоком (тобто після початкових витрат йдуть позитивні притоки грошових коштів), використання критерію IRR завжди приводить до тих самих результатів, що і NPV.

Проте у випадку чергування припливів і відпливів готівки (наприклад, у випадку капітального ремонту або модернізації обладнання) для одного проекту може існувати декілька значень IRR. Пояснення цього факту випливає із співвідношення (2.6). Неважко помітити, що IRR є коренем функції NPV = f® = 0, яка у загальному випадку задається поліномом n-го ступеня, де n – число періодів реалізації проекту. Відповідно до правила Декарта, поліном n-го ступеня може мати стільки коренів, скільки раз змінює знак задана ним функція. Таким чином, рівняння NPV = f(r) = 0 має стільки коренів, скільки разів змінюється знак потоку платежів.

Приклад 2.6

Фірма розглядає можливість реалізації проекту, що генерує наступний грошовий потік (табл. 2.7). Визначити ефективність проекту, якщо норма дисконту дорівнює 10%.

Таблиця 2.7

Потік платежів проекту із прикладу 2.6

Період	t0	t1	t2
Сума	-1600	10000	-10000

Визначимо NPV для даного проекту:

–1600 + ЧПС (0,1; {10000; –10000}) (Результат: –773,55).

Проведений розрахунок показує, що критерій NPV рекомендує відхилити проект. Виконавши ряд перетворень над виразом (2.6), визначимо величину IRR:

NPV = 0 = 1600 (1+IRR)² – 10000 (1+IRR) + 10000.

Неважко помітити, що отримане співвідношення є квадратним рівняння і має два корені:

,

звідки IRR₁ = 25% i IRR₂ = 400%.

Моделювання залежності NPV від норми дисконту r, виконанне у середовищі ППП Excel для прикладу, що розглядається, представлено на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Множинні значення IRR

У цьому випадку прийняти однозначне рішення на основі показника IRR не можна. Найпростіше рішення в такій ситуації – керуватися найменшим значенням IRR серед всіх отриманих.

Нажаль, функції ППП Excel також не завжди забезпечують у такому випадку отримання правильного результату.³ Можна спробувати знайти прийнятне значення IRR варіюванням значень необов’язкового аргументу прогноз (від 0,1 до 0,9).

Ще одним недоліком показника IRR є те, що як і показник РІ, він не завжди дозволяє однозначно оцінити взаємовиключні проекти.

Підводячи підсумки, відзначимо, що в цілому метод NPV дає достовірніші результати. Разом з тим найправильнішим підходом до аналізу ефективності довготермінових інвестицій буде використання всіх розглянутих показників, так як різні способи оцінки забезпечують осіб, що приймають рішення, більш повною інформацією.

Як показано у подальшому, використання ЕТ дозволяє швидко і ефективно визначити значення всіх необхідних критеріїв оцінки і провести аналіз їх чутливості.

Разом із тим, розробка універсального шаблону для ефективного аналізу інвестицій на практиці пов’язана із рядом проблем, породжуваних перш за все індивідуальними особливостями кожного конкретного проекту. Тому нижче наводиться методика розробки і використання найпростішого шаблону, що дозволяє автоматизувати процес розрахунку основних критеріїв ефективності інвестицій.

Приступимо до формування шаблону (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Шаблон для аналізу ефективності інвестицій

Перша частина цього шаблону призначена для введення вихідних умов реалізації проекту: прийнятої норми дисконту – r, терміну реалізації – n, передбачуваної ставки реінвестування r₁. Із врахуванням оформлення, заголовків і таблиці для введення вихідних даних ця частина шаблону займає перші вісім рядків ЕТ (блок комірок А1:В8).

Перед тим як приступити до проектування другої частини шаблону, корисно визначити власні імена для комірок, в які будуть вводитися вихідні дані. Передбачувані імена наведені у табл. 2.8.

Таблиця 2.8

Імена комірок шаблону

Адреса комірки	Ім’я
Блок А9:А10	Даты
Блок В9:В10	Платежи
В3	Норма_дисконта
В5	Ставка_реинвест
В9	Инцест
В12	ЧСС

Друга частина шаблону призначена для введення вихідних даних – потоку платежів. Ця таблиця із двох граф: дата платежу і сума платежу.

Оскільки ми не можемо наперед знати розподіл потоку платежів для того або іншого проекту, ця частина таблиці складається із двох рядків, що дозволяють задати мінімально можливий потік. Такий потік складається із величини початкових інвестицій (комірка В9) і останнього (можливо єдиного) надходження коштів (комірка В10). Відповідно блок комірок А9:А10 призначений для зберігання дат платежів мінімального потоку.

Третя частина шаблону (блок комірок В12:В15) містить формули розрахунку значень критеріїв ефективності. Порядок виконання дій із введення формул наведений у таблиці 2.9.

Таблиця 2.9

Формули шаблону

Адреса комірки	Формула
В12	=XNpv(Норма_дисконта;Платежи;Даты)
В13	=-ЧСС/Инвест+1
В14	=МВСД(Платежи;Норма_дисконта;Ставка_реинвест)
В15	=ЧИСТВНДОХ(Платежи;Даты)

Маючи базовий шаблон, можна легко отримати таблицю для будь-якого числа періодів, вставивши необхідну кількість рядків у блок комірок А9:В10 перед десятим рядком. При цьому адреса комірок у формулах буде пере налаштована коректно, оскільки раніше ми забезпечили їх абсолютну адресацію заданням власних імен (табл. 2.8, 2,9).

Керуючись рис. 2.11 і табл. 2.8 – 2.9, завершіть формування шаблону і збережіть його на диску під іменем INVST_AN.XLT.

Перевіримо працездатність шаблону на наступному прикладі.

Приклад 2.7

Фірма розглядає можливість здійснення інвестиційного проекту, термін дії якого складає 6 років. Норма дисконту дорівнює ставці реінвестування і складає 10%. Потік платежів по проекту представлений у табл. 2.10.

Таблиця 2.10

Потік платежів проекту (приклад 2.7)

Дата	25.01.90	25.01.91	25.01.92	25.01.93	25.01.94	25.01.95
Платіж	–1000	-100	700	600	400	150

Визначити значення критеріїв ефективності для проекту.

Розглянемо розв’язання прикладу по етапах.

1. Введіть вихідні дані у блок комірок В3:В5.

2. Зробіть активною комірку А10. Виділіть необхідну кількість рядків⁴. Виберіть у головному меню тему Вставка пункт Строки. Результатом виконання цих дій буде поява нових рядків і розширення блоку А9:В10 до А9:В14.

3. Введіть вихідні дані у блок комірок А9:В14. Оскільки в даному випадку періодичність платежів однакова, при введенні дат можна скористатися командою Заполнить із теми меню Правка.

Отримана в результаті таблиця може мати вигляд, представлений на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Аналіз ефективності проекту (приклад 2.7)

Проведений аналіз показує економічну ефективність даного проекту, тому за відсутності інших альтернатив він може бути прийнятий.

Зазначені у п. 2 операції можна виконати і без використання головного меню, здійснюючи наступні дії.

1. Зробити активною комірку А10 і виділити необхідну кількість рядків.

2. Натиснути на панелі інструментів кнопку Вставка строк.

кнопка Вставка строк