5. Изображение призмы и построение ее сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 7). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

С ечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 8).

На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 9).

Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 9, а).

Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 9,б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д.

На рисунке 10 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

6. Прямая призма

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 11).

П рямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. .на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S=a₁l+a₁l+...+a_nl=pl,

где a₁,..., a_n — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а 1 — длина боковых ребер. Теорема доказана.